Найдите радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник с катетами равными 5 см и 13 см​

1. Апофема равна (a/2)/cos(60) = a = 6. Значит у боковой грани основание и высота равны a = 6.

Поэтому ребро равно корень(a^2 + (a/2)^2) = a*корень(5)/2 = 3*корень(5);

2. Проведем в основании высоту к стороне 12. получится 2 равных прямоугольных треугольника с гипотенузой 10, катетом 6 и вторым катетом 8 (опять 3,4,5).

Отсюда площадь основания 12*8/2 = 48; периметр 22, радиус вписанной окружности 

r= 2*S/P = 96/22 = 48/11.

апофема равна h = r/cos(45) = (48/11)*корень(2);

площадь боковой поверхности P*h/2 = 48*корень(2)

Площадь полной поверхности 48*(1+корень(2))

Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL
По условию KL  = KC + LC 
Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны.
Тогда 
KC = KA
LC = LB
Следовательно KL  = KC + LC  = KA + LB 
Подставим это в первое равенство
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL =
= MK + ML +  KA + LB = 
= MK +  KA + ML  + LB 
Очевидно что
MK +  KA = MA 
ML  + LB = MB 
Тогда
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB 
Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С
Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С
что и требовалось доказать.