Диагонали равнобедренной трапеции равны. Отрезки, соединяющие середины сторон трапеции, являются средними линиями треугольников, образованных сторонами трапеции и ее диагоналями, значит они параллельны диагоналям и равны их половинам, то есть равны между собой. А так как они параллельны диагоналям, они взаимно перпендикулярны (так как диагонали взаимно перпендикулярны - дано). Следовательно, четырехугольник, образованный отрезками, соединяющими середины сторон нашей трапеции, является квадратом (стороны равны и взаимно перпендикулярны), а середины сторон - вершинами этого квадрата, что и требовалось доказать.
Нe задача конечно оригинальная :) Она даже первое время вызвала у меня затруднения :) 1) Проведем серединный перпендикуляр к стороне AB. Получим точку T в пересечении с прямой a. 2) Треугольник ATB-равнобедренный тк NT высота и медиана. 3) А теперь внимание: Опишем около треугольника ATB окружность :) (Это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам) Обозначим F-отличную от T точку пересечения окружности с прямой a. Так в чем же собственно говоря все прелесть: Тк хорды AT=TB,то и дуги AT и TB равны. То есть вписанные углы AFT и BFT опираются на равные дуги. То по сути эти углы равны :) То FT -биссектриса AFB. Построение завершено прощения что заменил С на F cуть от этого не изменилась) Замечание: Хочу сказать что данная задача не разрешима когда отрезок AB перпендикулярен прямой A и не делится этой прямой пополам. Тк если бы такая точка существовала,то вышло бы что высота и биссектриса,то треугольник равнобедренный,то она и медиана. НО данный отрезок не делится данной точкой пополам. Это в принципе и логично. Тк в этом и только в этом случае серединный перпендикуляр будет параллелен прямой a. Если же AB перпендикулярна a и делится этой прямой пополам. То все точки на прямой будут удовлетворять условию задачи. Это особенный случай. Я не мог его не упомянуть. Задание интересное во всех отношениях :)
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
