я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый. Я просто переношу решение оттуда:
Точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры - ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ (30 + 16)/2 - 14 = 9 :)))
(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :))).
Еще вариант решения, по сути - такой же
Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. И есть 2 соотношения.
z+x+y = 16;
z+(13 - x)+(15 - y) = 30;
Складываем и делим на 2.
z = 9
Еще вариант решения - проводим специальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть - с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (16 - z) и (30 - z), где z - ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее - см. начало :)))
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) длина средней линии MN равна 6 (М принадлежит АВ, N принадлежит ВС), а синус угла ВАС равен 4/5. Найдите радиус окружности, вписанной в ∆ MBN.
------
Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.
Следовательно, ∆ MBN подобен ∆ АВС, т.к. их углы равны, и
sin∠ВМN =sin∠BAC=4/5.
Опустим из В высоту ВН на MN. Высота равнобедренного треугольника - его медиана и биссектриса. МН=3
ВМ=МН:cos∠BMH
cos²∠BMH=1-sin²∠BMH=1-16/25
cos ∠BMH=√16/25=3/5=0,6
АВ=3:0,6=5, ⇒ BN=5
Формула радиуса вписанной окружности
r=S/p, где S- площадь треугольника, р- его полупериметр.
S=AB*МН•sin ∠BMH=5•6•0,8:2=12
p=(6+2•5)/2=8
r=12:8=1,5 (ед.длины)
----------
Как вариант решения можно по т.Пифагора вычислить
длину ВН=4, площадь ∆ BMN по формуле S=ah.
Радиус r - по формуле радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ( она дана в приложенном рисунке)
