Задача 1
1) Углы при основании равны, тогда угол А=углу Д=45 градусов,
2) Проведем высоты ВН и СМ
3) Рассмотрим четырехугольник ВНМС
Он будет параллелограммом, т.к. ВН || СН как высоты, ВС || НМ как основания
Тогда ВН=СН, ВС=НМ по св-ву параллелограмма
4) Меньшее основание - ВС, тогда АН+МД=11-5=6 см.
5) Прямоугольные треугольники АВН и МВС будут равны, т.к. у обоих углы равны 45 градусов, и гипотенуза равны (т.к. трапеция равнобедренная).
6) АН=МД=6:2=3 см. (как соответственные элементы)
7) Треугольник АВН - равнобедренный, тогда ВН=АН=3 см
8) Площадь трапеции равна половине произведения оснований, помноженное на высоту, т.е. 11+5/2 * 3 = 24 см.2
Задача 2
Трапеция АВСД. угол А и С = 90 градусов, треугольник ВСД - равнобедренный, тогда углы при основании равны по 30 градусов, тогда СД = 2√3, тогда проведем высоту СМ, чет-к АВСМ будет параллелограммом (док-во в 1-ой задачи), тогда ВС = АМ = 2√3, Треугольник АВД - прямоугольный, угол ВДА равен 30 градусов, угол Д равен 60 градусов, тогда ДМ = √3, по теореме пифагора СМ равно 3 см.
Площадь равна половине произведения оснований на высоту, т.е. 2√3+3√3/2 * 3 = 2,5√3 * 3 = 7,5√3 см2
Задача 3
1) Периметр трапеции равен АВ+ВС+СД+АД, тогда АВ+ВД=64-24-30=10
АВ=ВД=5 см., т.к. трапеция равнобедренная.
2) Проведем высоты ВН и СМ, тогда четырехугольник ВНМС будет параллелограммом, т.к. ВН || СМ (высоты), ВС || НМ (как основания)
ВС=НМ, ВН=СМ по св-ву параллелограмма.
3) НМ=24, тогда АН+МД=30-24=6, а АН=МД, т.к. прямоугольные треугольники равны (док-во из первой задачи)
АН=МД=3 см.
По теореме пифагора найдем ВН=4
4) Площадь трапеции равна половине произведения оснований, помноженное на высоту, т.е. 24+30/2 * 4=108 см.2
Точку пересечения высот треугольника KLM обозначим - D. Точку серединного перпендикуляра на сторону DM обозначим - E. Центр окружности вокруг Δ KLM- O.
Рассмотрим Δ KDM -равнобедренный, явно претендующий на равносторонний. Определяем центр окружности вокруг Δ KDM. Проводим средний перпендикуляр треугольника. DO - одновременно является -выстой , биссектрисой и медианой, по условию данного Δ KDM -равнобедренный. KE - средний перпендикуляр и пересекаются они в точке L-это и будет центр окружности Δ KDM.
Рассмотрим Δ KEM и Δ KED- равны по признаку (KE-общая, DE=EM, т.к. E-точка середины и Ŀ 90 гр между равными сторонами). Следовательно, KE=KM вывод Δ KDM -равносторонний. Высота Δ KDM H=√36-9= 5 см. Вспомним соотношени высот в равностороннем треугольнике 1/2 относительно точки их пересечения.Точка C переечение серединного перпендикуляра с стороной KM, и так LC=5/3, DL=2*5/3=10/3. R=10/3.
Рассмотрим углы образованный вокруг точки L их 6 и обазованные бисектрисами в равностореннем Δ KDM они равны между собой 360/6=60гр, следовательно каждый из них 60 гр. Рассмотрим Δ LOM он оказывается - тоже равносторонним. Вывод радиус окружности Δ KDM равен радиусу окружности Δ KLM и равен R=10/3. И ещё вывод что, "если известно, что на этой окружности лежит центр окружности" , то только тогда когда Δ KLM - равнобедренный.
