M A B C D Все стороны правой прямоугольной пирамиды равны 4 см. Посередине краев MA, MB, MS, MD отмечены 4 точки соответственно. Найдите отношение площади сечения, проходящего через эти точки, к площади прямоугольника в основании.​

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K - середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. 

а) докажите, что EFMK - параллелограмм. 

А к с и о м а 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

С л е д с т в и е 1.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Соединив отрезками данные точки по три: 

А, В и С – получим ∆ АВС. 

А, D и C – получим ∆ ADC

B, D и С  – получим ∆ BDС

B, D и A – получим ∆  BDA.

Отрезок, соединяющий середины двух его сторон называется средней линией треугольника. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

EF – средняя линия треугольника АВС и параллельна основанию АС по определению.

КМ – средняя линия треугольника АDC и параллельна основанию АС по определению.  

EF=AC:2, KM=AC:2 ⇒ EF||KM и EF=KM

То же самое верно для КЕ и МF.

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

------------------------------

б) найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см

КЕ=MF=BD:2=8:2=4

KM=EF=AC:2=6:2=3

P (KMFE)=2•(3+4)=14 см

Объяснение:

Касательные МВ =МА =15см, поскольку они пересекаются в одной точке М. Проведём отрезок ОМ, который образует два равных прямоугольных треугольника

АМО и ВСО. У них МВ=МА; ОМ=ОА=15см, по условиям, ОМ - общая сторона. Так как касательные равны между собой, то ОМ является биссектрисой и делит угол М пополам, поэтому угол АМО=углу ВСО=60÷2=30°. Радиусы, проведённые к точкам касания, образуют с ними прямоу угол =90°, следовательно ∆АМО и ∆ВМО- прямоугольные, где касательная и радиус - катеты, а ОМ- гипотенуза. Мы нашли, что один из его острых углов составляет 30°, а катет, лежащий напротив него равен половине гипотенузы. Поэтому катет ОА= ½ ОМ, значит гипотенуза ОМ будет в 2 раза больше: ОМ=12×2=24см

Итак: ОМ=24см; ОА=ОВ=12см; МА=МВ=15см