Дано:
ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямая призма
ABCD - трапеция
CD = KM = 6 см AB = 20 см
AD = 13 см BC = 15 см
AA₁ = 17 см
-------------------------------------------------
Найти:
V - ?
Рассмотрим основание призмы.
Проведем высоты: DK⊥AB, MC⊥AB
Пусть AK = x см, тогда MB = AB - AK - KM = 20 см - x см - 6 см = 14-x см.
Из ΔAKD: KD² = AD² - AK² = (13 см)² - (x см)²
Из ΔMBC: MC² = BC² - MB² = (15 см)² - (14-x см)²
Теперь решим систему уравнений с двумя неизвестными:
Где KD = MC = h, следовательно:
Теперь приравняем их:
169 см² - x² см² = 225 см² - (196 - 28x + x²) см²
169 см² - x² см² = 225 см² - 196 + 28x - x² см²
-x²+x²-28x = 225-196-169
-28x = -140 | : (-28)
x = 5 ⇒ AK = 5 см
Вычислим высоту основания из ΔAKD, и ΔMBC:
KD = √AD² - AK² = √(13 см)² - (5 см)² = √169 см² - 25 см² = √144 см² = 12 см
MC = √BC² - MB² = √(15 см)² - (14-5 см)² = √225 см² - (9 см)² = √225 см² - 81 см² = √144 см² = 12 см
KD = MC = 12 см
Теперь вычислим площадь основания призмы при площади трапеций:
(Sосн. = S(ABCD)) = (CD+AB)/2 × DK = (6 см + 20 см)/2 × 17 см = 26 см/2 × 17 см = 13 см × 17 см = 221 см²
И теперь мы находим объём призмы по такой формуле:
V = Sосн. × h = Sосн. × AA₁ = 221 см² × 17 см = 3757 см³
ответ: V = 3757 см³
P.S. Рисунок показан внизу↓
Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.
