Знайдіть довжини медіан трикутник АВС, якщо: а) А(-4; -2), B(2; 6), C(4; 2); б) А(-5; 1), B(-3; 5), C(-1; -1).​

Пусть дан треугольник АВС - прямоугольный, ∠А=90°, высота АН=12 см, медиана АМ=15 см. Найти АВ, ВС, АС, sin А, sin B, sin C.

Найдем ВС. По свойству медианы, проведенной к гипотенузе, ВС=2АМ=15*2=30 см. 

ВМ=СМ=30:2=15 см.

Из прямоугольного треугольника АМН найдем МН.
МН=√(АМ²-МН²)=√(225-144)=√81=9 см.

НС=МС-МН=15-9=6 см.

Из треугольника АНС найдем АС:
АС=√(АН²+СН²)=√(144+36)=√180=6√5 см.

Найдем АВ:
АВ²=ВС²-АС²=900-180=720;  АВ=√720=12√5 см.

sin A=sin 90°=1
sin B=AC\BC=6√5\30=√5\5
sin C=AB\BC=12√5\30=2√5\5

ответы: 30 см; 6√5 см; 12√5 см; 1; √5\5; 2√5\5. 

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. И является биссектрисой угла при вершине.
Пусть угол при основании х, тогда угол между высотой и боковой стороной равнобедренного треугольника равен (х-15°).
Угол при вершине в  два раза больше 2(х-15°)

Сумма  углов  треугольника равна 180°
х+ х+2·(х-15°)=180°
4х=210°
х=52,5°
х-15°=52,5-15=37,5°
Угол при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза больше, так как высота равнобедренного треугольника является также и биссектрисой.
ответ. углы при основании 52,5°; 52,5° и угол при вершине 75°