Условие слегка непонятное - я буду считать, что все грани пирамиды - правильные треугольники. То есть под плоским углом при вершине я буду понимать угол между двумя ребрами. Таким образом, задан тетраэдр.Основанием считается "нижняя" грань, на самом деле все грани одинаковы, но "по привычке" называем основанием то, что внизу, а высотой - высоту, перпендикулярную именно "основанию".
Пусть боковая сторона равна а.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной тетраэдра, её проекцией на основание и высотой пирамиды. Ясно, что основание высоты равноудалено от вершин основания, то есть проекция бокового ребра на основание есть радиус R описанной окружности вокруг треугольника со стороной а, то есть R = а*√3/3; (это просто - R = 2/3 от высоты правильного треугольника, а высота равна h = а*sin(60) = a*√3/2; не путать это с высотой пирамиды!).
Заданный отрезок длины 3 является в построенном прямоугольном треугольнике МЕДИАНОЙ, то есть равен половине гипотенузы. А роль гипотенузы играет боковое ребро. Поэтому а = 6 :))
Площадь правильного треугольника со стороной 6 равна a*h/2 = 6^2*√3/4; а всего у нас 4 одинаковых грани, то есть площадь всей поверхности пирамиды равна
36*√3
Треугольник равнобедренный, значит ВС = ВД = 10см, а ДС = 34 - 20 = 10см/
Высота ВК треугольника равна ВК = √ (10² - 7²) = √51
Найдём радиус вписанной окружности
[tex]r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}[\tex]
Полупериметр р = 34:2 = 17
р-а = 17 - 10 = 7
р-b = 17 - 10 = 7
р-c = 17 - 14 = 3
[tex]r=\sqrt{\frac{7\cdot7\cdot 3}{17}} = 7sqrt{\frac{3}{17}} [\tex]
Центр вписанной окружности О лежит на высоте ВК.
Отрезок ВО равен ВО = ВК - r = √51 - 7√(3/17) = 10√(3/17)
рассмотрим прямоугольный тр-к АВО.
Искомый отрезок ВА = √(ВО² - r²) = √(300/17 - 147/17)= √(153/17)= √9 = 3
Итак, ВА = 3
Тогда ДА = 10 - 3 = 7
ответ: ВА = 3см, ДА = 7см
