Так как окружность является описанной около треугольника , то его гипотенуза является диаметром . . Пусть одна часть равна х, тогда гипотенуза равна 5х, катет 3х, получим уравнение (5 х) в квадрате = 16 в квадрате + ( 3х)в квадрате - по теореме Пифагора.
Получаем 25 х в квадрате = 256 + 9х в квадрате.
16 х в квадрате = 256
х в квадрате = 16
х= 4 ; х= -4
-4 не удовлетворяет условию задачи.
Найдём гипотенузу 5х= 5*4 = 20, гипотенуза это диаметр, значит радиус 20:2 =10
ответ : 10 см
Объяснение:
Соединим радиусы с касательными и получим прямоугольные треугольники.
КО=ОМ=3
Рассмотрим ∆АОМ;
АО- гипотенуза
ОМ- катет против угла 30°
АО=2*ОМ=2*3=6
Теорема Пифагора
АМ=√(АО²-ОМ²)=√(6²-3²)=√(36-9)=√27=
=3√3
АМ=АК, свойство касательных проведенных из одной точки.
АК=3√3;
АО- биссектрисса угла <КАМ
<КАМ=2*<ОАМ=2*30°=60°
Рассмотрим ∆АВС.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
<В=90°-<САВ=90°-60°=30°
AC=CK+KA=3+3√3
tg<B=AC/CB
tg30°=1/√3
1/√3=(3+3√3)/CB
CB=√3(3+3√3)=3√3+3*3=3√3+9
S(∆ABC)=1/2*AC*CB=1/2*(3√3+9)(3+3√3)=
=1/2(9√3+27+27+27√3)=1/2(54+36√3)=
=1/2*2(18√3+27)=18√3+27
ответ: 18√3+27
Задача 2)
Треугольник ∆АВС- равнобедренный
АВ=ВС, так как углы при основании равны, <А=<С по условию.
ЕС=СD, свойство касательных
ВЕ=ВК, свойство касательных
Так как треугольник равнобедренный, то
АК=АD=DC=CE.
AC=8x*2=16x
AB=BC=9x+8x=17x
Формула нахождения радиуса
r=AC/2√((2*AB-AC)/(2AB+AC))=
=16x/2√((2*17x-16x)/(2*17x+16x))=
=8x√((34x-16x)/(34x+16x))=8x√(18x/50x)=
=8x√(9/25)=8x*3/5=24x/5=4,8x
r=4,8x
r=24
4,8x=24
x=24/4,8
x=5
AB=17x=17*5=85
AC=16x=16*5=80
AD=AC/2=80/2=40
Теорема Пифагора
ВD=√(AB²-AD²)=√(85²-40²)=√(7225-1600)=
=√5625=75
S(∆ABC)=1/2*BD*AC=1/2*75*80=3000
ответ: 3000 ед²
