Задача: В треугольнике KPE сторона PE = 6. На стороне KE отмечена точка F так, что PF = KP = 3√3, FE = 3. Найти углы ΔKPE.
Р-м ΔPEF:
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон, такой треугольник прямоугольный.
PE² = PF²+EF²
6² = (3√3)²+3²
36 = 27+9
36=36
ΔPEF — прямоугольный, ∠F = 90°
Если один из катетов равен половине гипотенузе, он лежит напротив угла 30°
FE = PE/2 = 3 ⇒ ∠FPE = 30°, тогда ∠PEF(E) = 60° (по теореме о сумме углов Δ).
Р-м ΔKPF:
∠PKF(K) = ∠FPK — из следствия равнобедренного треугольника (PF = KF)
∠PFK = 90° — как смежный с ∠PFE ⇒ ΔKPF — прямоугольный
∠PKF(K)+∠FPK = 180−∠PFK = 180−90 = 90°
∠PKF(K) = ∠FPK = 90/2 = 45°
Р-м ΔKPE:
∠K = 45°, ∠E = 60° ⇒ ∠P = 180−(∠K+∠E) = 180−(45+60) = 180−105 = 75°
ответ: ∠K = 45°, ∠E = 60°, ∠P = 75°.
Объяснение:
Средние линии треугольника - отрезки, соединяющие середины его сторон. Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному, поэтому отношение сторон обоих треугольников одинаково. Если стороны исходного треугольника а, b, c, то средние линии равны 0,5а, 0,5b и 0,5 с.
Соответственно, 0,5а:0,5b:0,5 с= а:b:с.
НО!
Треугольник с отношением сторон 2:2:4 не существует. По теореме . о неравенстве треугольника любая его сторона меньше суммы двух других. По данному отношению 4=2+2 все вершины лежат на одной прямой. (Треугольник, у которого все три вершины лежат на одной прямой, называется вырожденным - см. рисунок во вложении. ).
* * *
В сети встречается (и не раз!) задача, к которой дается решение без указания на неравенство треугольника, с таким условием:
Средние линии треугольника относятся как 2:2:4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника. Ход решения верный, в ответе: а = b = 11,25; c = 22,5 см.
Получается, что с=а+b. Возможно, условие специально составлено так, чтобы решающий нашел в нем указанную выше ошибку.
