Уровень В 76. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке 0,
M— середина стороны AB. Выразите через векторы ОА и ОВ век-
тор: a) МО; б) СМ

Проведём ВМ║АD. Четырехугольник АВМD- параллелограмм ( стороны попарно параллельны) 

DM=AB=18 см

В ∆ ВМС ∠ВМС=∠АDМ. 

МС=DC-DM=27-18=9

По т.косинусов  -cos угла ВМС=[ВС*- (ВМ*+МС*)]/2BM•BC⇒

cos ∠BMC=18/54=1/3

Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними. 

S ABMD= AD•DM•sin ADM

sin2 α + cos2 α = 1⇒

  sin ∠ADM=√(1-1/9)=√8/3=2√2/3

S ABMD=18•3•2√2•3=36√2 см²

S∆ ABD=SABMD/2=18√2

В трапеции треугольники, образованные при пересечении диагоналей, подобны. k=DC/АВ=27/18=3/2

Тогда DB=DK+KB=5 частей  АН- общая высота треугольников АКD и АDВ .

Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. 

S ∆ ADK=3/5 S∆ADB=3•18√2/5=54√2/5=10,8√2 см²

------Примечание. Это один из вариантов решения этой задачи.  Другой дан мной 6.03 этого года. 

Сделать чертёж. Разделить сторону ВС на 4 части. Обозначить на расстоянии 1 от точки В точку N. Тогда BN=1, NC=3. Провести прямую MN согласно условию. Параллельно ей провести из точки А прямую , которая пересечёт сторону ВС в точке Р.
Рассмотреть треугольник MNC. Отрезок АР в нём - средняя линия, следовательно, точка Р делит сторону NC пополам.
Но NC=3, значит, NP=1,5.
Таким образом, BN относится к NP как 1:1,5 или как 2:3. Поскольку MN и АР параллельны (по построению), то таким же будет и соотношение отсекаемых ими отрезков на стороне АВ.
ответ: 2:3