12. АВС үшбұрышында А=В ал AM биіктігі ВС қабырғасын
қақ бөледі. Егер СМ = 3,5 см болса, AB-ның ұзындығын табыңдар.
12​

В равнобедренном треугольнике АВС <C=<A. <DAC=(1/2)*<A,
так как AD - биссектриса. Значит <DAC=(1/2)*<C. В треугольнике ADC <ADB - внешний и равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть <ADB=<DAC+<C или 1,5*<C=110°.
Тогда <C=110°:1,5=73и1/3°=<A, a <B=180°-146и2/3°=33и1/3° (так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
ответ: <A=<C=73и1/3°, <C=33и1/3°.

P.S. Стоило в условии задачи дать <ADB=111° и мы получили бы ответ:
<A=<C=74°,a <B=32° !

Находим объём пирамиды.

              |X1    Y1    Z1|               |4     3    -1|

V = (1/6)*|X2   Y2   Z2|  =  (1/6)*|3     2    -5|

              |X3   Y3   Z3|              |5     5      1|   = (1/6)* 4*2*1 + 3*(-5)*5 + (-1)*3*5 -

(-1)*2*5 - 4*(-5)*5 - 3*3*1 = (1/6)*19 = 19/6.

Находим площадь треугольника АВС, лежащего против конца вектора "а".  Формула векторного произведения:

Произведение векторов а × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.      S(ABC) = (1/2)*b*c =    

i j k

bx by bz

cx cy cz

 =  

i j k

3 2 -5

5 5 1

 = i (2·1 - (-5)·5) - j (3·1 - (-5)·5) + k (3·5 - 2·5) =  

= i (2 + 25) - j (3 + 25) + k (15 - 10) = {27; -28; 5}.

Площадь равна (1/2)√(27² + (-28)² + 5²) = (1/2)√1538 ≈ 19,60867.

Теперь находим искомое расстояние от конца вектора а до плоскости АВС как высоту пирамиды.

Н = 3V/S(ABC) = 3*(19/6)/(√1538/2) = 19/√1538 ≈ 0,48448.