с
Треугольники ABC и DEF вписаны в одну и ту же окружность. Доказать, что равенство их периметров равносильно условию sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник ABC. Согласно теореме синусов
AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B = 2R или
sin C/AB = sin A/BC = sin B/AC = 1/(2R).
sin C = AB/(2R); sin A = BC/(2R); sin B = AC/(2R).
sin A + sin B + sin C = (BC + AC + AB) / (2R) = P1/(2R).
sin A + sin B + sin C = P1/(2R), где P1 – периметр треугольника ABC.
Аналогично, из треугольника DFE имеем:
sin D + sin E + sin F = (EF + DF + DE) / (2R) = P2/(2R), где P2 – периметр треугольника DFE .
Легко видеть, что если P1 = P2, то sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F и наоборот.
Задача 2.
Внутри треугольника ABC к стороне BC проведена прямая AD так, что получился равнобедренный треугольник ADC с основанием AC.
Найдите длину основания AC, если периметры треугольников ABC и ABD
равны соответственно 39 см и 27 см
Решение
Рассмотрим оба треугольника.
Если из треугольника АВС вырезать АС, то, так как АD=DС, получим периметр треугольника АВD.
Р АВС - Р АВD= АС
АС=39-27=12 см
Если трубуется, есть и второй вариант решения:
Запишем периметры обоих треугольниокв в виде суммы их сторон
Р ᐃ АВС=АВ+ВС+АС=39 см
а так ВС=ВD+DС, то
Р ᐃ АВС=АВ+ВD+DС+АС=39 см
Периметр ᐃ АВD=АВ+ВD+АD=27 см
Так как АD=DС, то можем записать
Р ᐃ АВD=АВ+ВD +DС =27 см
Составим систему:
|АВ+ВD +DС+АС =39
|АВ+ВD+DС=27___________ Умножим это уравнение на -1 и сложим уравнения.
|АВ+ВD +DС+АС =39
| -АВ - ВD -DС = - 27
АС=12 cм
