Пусть биссектриса АО пересекает стороны ВС в точке М. Прежде, чем раскладывать, вычислим ВМ и СМ. Ясно, что ВМ/СМ = 3/7; ВМ + СМ = 5;
отсюда ВМ = 7/2; СМ = 3/2; (и, что важнее всего! -) СМ = СВ*7/10
Применяя свойство биссектрисы к треугольнику СМА (биссектриса СО), получаем
МО/АО = СМ/АС = 1/2;
(на самом деле, это можно было бы сразу записать, если известно свойство точки пересечения биссектрис. Фактически я это свойство вывел)
АО = АМ*2/3;
Вот теперь можно заняться векторами. Жирным шрифтом обозначены векторы, а обычными буквами (если где-то встретятся)- их модули
СВ = АВ - АС = b - a;
CM = (7/10)*(b - a);
АМ = АС + СМ = a + (7/10)*(b - a) = a*3/10 + b*7/10;
AO = AM*2/3 = (a*3/10 + b*7/10)*2/3 = a/5 + b*7/15;
И, наконец,
СО = АO - АC = a/5 + b*7/15 - a = (-4/5)*a + (7/15)*b;
На самом деле, СО - это вычурный выбор, интересно именно АО. Точно тем же можно получить очень красивое выражение для АО в общем виде
АО = (a*b + b*a)/(a + b + c)
Равносторонний конус - это ПЕРЛ! Это где же его стороны?
Другое дело: конус, осевое сечение которого является равносторонним треугольником. Полагаю, что условие такое.
Решение.
Если радиус основания R = 15см, а осевое сечение равносторонний треугольник, то образующая конуса L и диаметр основания D равны.
L = D = 2R = 30см.
Длина хорды а окружности основания, являющаяся неизвестной стороной треугольного сечения, образованного двумя образующими, , угол между которыми равен 30° может быть найдена из теоремы косинусов.
а² = L² + L² - 2L²·cos30° = 2L²·(1 - cos30°)
а² = 2·30²·(1 - 0.5√3) = 1800·(1 - 0.5√3)
a = 30·√(2 - √3)
Высоту h треугольного сечения, проведунная к стороне а найдём по теореме Пифагора
h² = L² - (0.5a)²
h² = 900 - 450·(1 - 0.5√3) = 450·(1 + 0.5√3) = 225·(2 + √3)
h = 15√(2 + √3)
Площадь сечения
S = 0.5a·h = 0.5· 30·√(2 - √3)·15√(2 + √3) = 225·(4 - 3) = 225(cм²)
