Сделаем рисунок и обозначим вершины пирамиды АВСА1В1С1. Ребро ВВ1⊥АВС=1 см
Площадь боковой поверхности этой пирамиды - сумма площадей трех трапеций: двух прямоугольных и одной равнобедренной - той, что противолежит ребру ВВ1.
В основаниях пирамиды правильные треугольники - следовательно, длины средней линии всех трапеций равны 0,5•(3+5)=4 см
Площадь прямоугольных граней равна произведению их средней линии на длину высоты пирамиды, т.е. .
S (АВВ1А1)=S (ВВ1С1С)= 4•1=4 см²
Чтобы найти высоту грани АА1С1С, проведем в основаниях пирамиды высоты ВН и В1К и соединим К и Н.
Плоскость прямоугольной трапеции ВНКВ1 перпендикулярна плоскости оснований, т.к. содержит в себе отрезок ВВ1, перпендикулярный обоим основаниям.
Из К опустим высоту КТ.
КН по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна АС и является высотой трапеции АСС1А1.
В прямоугольном треугольнике КТН катет КТ=ВВ1=1см, катет НТ равен разности высот оснований пирамиды.
ВК=(3√3):2
BH=(5√3):2
ТН=2√3):2=√3 см
КН=√(КТ²+НТ²)=√4=2 см
S (АСС1А1)=4*2=8 см²
S(бок)=4+4+8=16 см²
А) Так как сечение проходит через параллельные плоскости , то в сечении - параллелограмм.
Находим его стороны. А1Е = √(1 + (1/2)²) = √5/2.
А1М = √(3² + (1/2)²) = √37/2.
Найдём диагональ МЕ: МЕ =√(1² +3²) = √10.
Площадь параллелограмма найдём как площадь двух треугольников со сторонами, равными сторонам параллелограмма и его диагонали.
Площадь треугольника определяем по формуле Герона.
Треугольник А1ЕМ
a(ЕМ) b(А1М) c(А1Е) p 2p S
3,1623 3,0414 1,11803 3,6609 7,3217 1,6956
10 9,25 1,25 это квадраты сторон
cos A = 0,0735 cos B = 0,2828 cos С = 0,9358
Аrad = 1,4972 Brad = 1,2840 Сrad = 0,3603
Аgr = 85,7837 Bgr = 73,5700 Сgr = 20,6462 .
Площадь сечения равна 2*1,6956 = 3,3912 кв.ед.
Б) Перпендикуляр из точки F на МС равен (1*(1/2)/(√5/2) = 1/√5.
Тангенс угла α наклона плоскости сечения равен:
tg α = 3/(1/√5) = 3√5.
α = arc tg(3√5) = 1,4228 радиан или 81,5213 градуса.
