ABC үшбұрышы берілген. AN – үшбұрыштың медианасы. O – медианаларының қиылысу нүктесі. O(–2; 0)және A(2; 4) нүктелерінің координаттары берілсе, N нүктесінің координаттарын тап.

ответ: №1. R=AC=9     №2. 8√3      №3

Объяснение: №1 Рассмотрим ΔАСЕ-прямоугольный, т.к. радиус АС⊥АЕ (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания). По теореме Пифагора АС²= АЕ²- СЕ²=15²-12²=225-144=81, ⇒ АС-√81=9, нo R= AC=9                                                              №2. Рассмотрим ΔАМК-прямоугольный, т.к. радиус АМ⊥МК (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).  ∠МКА=90°-60°=30°, ⇒АК=8·2=16 (по св-ву катета, лежащего против угла в 30°. По теореме Пифагора МК²= АК²-АМ²=16²-8²=256-64=192, ⇒МК=√192= 8√3

№3.   Выполним рисунок СР-хорда, РВ-диаметр, Касательная СД∩РВ=Д (точка Длежит вне окружности). Проведём радиус ОС, тогда ОС⊥СД (касательная⊥радиусу, проведённому в точку касания).  Рассмотрим ΔСОР-равнобедр, т.к. СО=РО=R,⇒∠ОСР=∠СРО=30°⇒∠СОР=180°°-(30°°+30°)=120°. Тогда в прямоугольном Δ ДОС ∠ СОД=180°-120°=60°, ⇒∠СДО=90°-60°°=30°. Получим, что в ΔДСР есть два равных угла: ∠СДО=∠СРО=30°⇒⇒ΔДСР-равнобедренный, чтд

АМ -касательная
АN - секкущая АР - её внешняя часть
О - цент окружности
ОК - растояние до секущей
АМ=12
АN= 18
ОК= 3
ОМ=?

для решения воспользуемся без доказательства теоремой о свойствах касательной и секущей проведенной из одной точки:

Теорема
"Произведение всей секущей на её ВНЕШНЮЮ часть равно квадрату касательной"

т.о. АМ*АМ=АМ^2 = AP*AN  12*12 = AP*18  AP=(12*12)/18 =8

PN=AN - AP =18 - 8 = 10

проведем радиусы в точки пересечения секущей ОР и ON

треугольник ОРN - равнобедренный, его высота ОК=3 является также и медианой, т.е. PK=KN=PN / 2 = 10 / 2 = 5

из прямоугольного треугольника OKN по теореме Пифагора определим радиус, он равен гипотенузе треугольника с катетами 3 и 5 см

R = OP = ON = OM = √(5^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34 см ~~ 5,8 см

ответ немного смущает, но видимо это "модификация" преподавателя, для защиты от списывания, наверное цифры у Сканави были другие, если конечно я не ошибся в "расчётах"

ответ: радиус окружности равен √34 см