Sбок = (1/2)*Pосн*l, где l - апофема. 1) Найдем апофему. Высота пирамиды, радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, и апофема образуют прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3. Значит, гипотенуза (апофема) равна 5 по теореме Пифагора (или египетский треугольник). 2) Теперь надо найти сторону ромба. Его высота равна диаметру вписанной окружности, т.е. 6. Эта высота, сторона ромба и отрезок смежной стороны от вершины острого угла до основания высоты образуют прямоугольный треугольник с углом в 45 градусов. Значит, катеты равны. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза (сторона ромба) равна:
корень из (36+36)= 6 корней из 2.
Sбок = (1/2)*4*(6 корней из 2)*5 = 60 корней из 2
Пусть S - площадь АВС, а искомая сторона АВ = х.
Радиус вписанной окружности, как известно равен:
r = S/p, где р - полупериметр, то есть в нашей задаче: r = S/9
Итак MN || AB. Значит тр-ки CMN и ABC - подобны и коэффициент подобия равен: MN/AB = 2/x
Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
S(CMN)/S = 4/x²
Отсюда площадь тр-ка CMN:
S(CMN) = (4S)/x²
Другая часть, на которую прямая MN разбила исходный тр-к АВС, - это трапеция AMNB с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2S)/9. ЕЕ площадь:
S(AMNB) = ½*(x+2)*(2S)/9 = (x+2)S/9
Теперь можем расписать площадь всего тр-ка АВС:
S = S(AMNB) + S(CMN)
Или:
S = (x+2)S/9 + (4S)/x²
Сократив на S и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х:
х³ - 7х² + 36 = 0
Данное кубическое уравнение легко раскладывается на множители:
(х³ - 6х²) - (х² - 36) = 0
х²(х - 6) - (х - 6)(х + 6) = 0
(х - 6)(х² - х - 6) = 0
(х - 6)(х - 3)(х + 2) = 0
Корень -2 отбрасываем
ответ: АВ = 6 или 3 - оба корня подходят
