Пусть внешняя точка будет А, точки касания с одной из касательных большей окружности -М, меньшей -Н, центр большей окружности - В, меньшей - С, точка касания окружностей -К, радиус большей окружности R, меньшей- r. По условию АС=6, АВ=18 Отсюда R+r=18-6=12 R=12-r Проведем к точкам касания каждой окружности радиусы. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Треугольники АМВ и АНС подобны - прямоугольные с общим углом при А. Из их подобия следует отношение: АС:АВ=СН:ВМ 6:18=r:(12-r) 6*12-6r=18r, откуда r=3 ⇒ R=12-3=9
Достроим трапецию АВСД до треугольника с вершиной К. (см.рис.1 приложения) Сумма острых углов этого треугольника по условию равна 90º, следовательно, угол АКД=90º и этот треугольник - прямоугольный. ВС|| АД ВС=4=АД:2 и для треугольника АКС является средней линией. Тогда высота КМ треугольника АКД равна 2*ВН=4 и равна половине гипотенузы АД. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. Если высота и медиана прямоугольного треугольника равны, то высота является его медианой и этот треугольник равнобедренный. КМ=АМ. Проведем ВМ|| СД, треугольник АВМ равнобедренный прямоугольный, АН=ВН=2 и его углы равны углам при основании трапеции, т.е. равны 45ª Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна его катету, умноженному √2, что можно вычислить и по т.Пифагора, и по формуле с=а:sin 45ºα, где с-гипотенуза]. а - катет, α - противолежащий ему острый угол. ⇒ АВ=СД = 2√2 ------------ Боковые стороны трапеции с известными основаниями и высотой можно найти и другим Рассмотрим рис.2 приложения. Высоты ВН и СК "высекают" из основания АД отрезок НК=ВС и АН+КД=8-4=4 Если принять АН=х, то КД=4-х. Высоты ВН=СК. Из прямоугольных треугольников АНВ и СКД по т.Пифагора выражается квадрат высоты, эти значения приравниваются и из получившегося квадратного уравнения находится х. Затем его значение подставляется для нахождения по т.Пифагора гипотенузы этих треугольников и таким образом находятся боковые стороны трапеции. Этих вычислений я приводить не буду, но Вы можете их проделать и для данной в условии трапеции найдете х=2. Т.е. АН=ВН.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
