Стороны треугольника ABC равны AB=5, BC=10, AC=7. В вершине C находится масса 10. Какие массы нужно поместить в вершины A и B, чтобы центр масс попал в точку пересечения биссектрис треугольника ABC? В точку A необходимо поместить массу В точку B необходимо поместить массу

mA =20 ед. mB = 14 ед.

Объяснение:

Теорема о группировке масс:  "Если часть материальных точек заменить точкой, расположенной в их центре масс  и имеющей ненулевую массу, равную сумме масс этих точек, то центр масс всех точек не изменится".

По условию, для каждой стороны центр масс ДОЛЖЕН находиться в точке, в которой биссектриса противолежащего угла пересекает эту сторону.

АК/КС =1/2 (свойство биссектрис). => АК = 7/3. KC = 14/3.

ВР/РС =5/7 (свойство биссектрис). => ВР = 5/12. KC = 7/12.

Для обеспечения равновесия массы в точках А и С ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ длинам рычагов, то есть  

mA·AK = 10·KC  =>  mA = 10·(14/3)/(7/3) = 20 ед.

Аналогично, mB·BP = 10·PC  =>  mB= 10·(7/12)/(5/12) = 14 ед.

Проверим: mB·BM = mA·AM  =>  20= 14·(50/17)/(35/17) ?

20 = 20.