Объем прямого цилиндра = 24, его высота = 3. Найдите объем конуса, образующие которого пересекают образующие цилиндра и делят их пополам.

По теореме косинусов:

с² = a² + b² - 2ab·cos∠C = 4 + 16 - 2 · 2 · 4 · cos∠C

25 = 20 - 16cos∠C

16cos∠C = - 5

cos∠C = - 5/16 = - 0,3125

Так как косинус угла С отрицательный, то угол тупой. По таблице Брадиса находим, что если cosα = 0,3125, то α ≈ 72°, тогда

∠C ≈ 180° - 72° ≈ 108°

По теореме косинусов:

a² = b² + c² - 2bc·cos∠A

4 = 14 + 25 - 2 · 4 · 5 · cos∠A

40cos∠A = 35

cos∠A = 35/40 = 7/8 = 0,875

∠А ≈ 29°

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому

∠В = 180° - (∠А + ∠С) ≈ 180° - (29° + 108°) ≈ 43°

Площадь треугольника найдем по формуле:

S = 1/2 ac·sin∠B

sin∠B ≈ 0,682

S ≈ 1/2 · 2 · 5 · 0,682 ≈ 3,41 см²

Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной.
По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN.
Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6,
4²=x(х+6),
х²+6х-4=0,
х1=-8, отрицательное значение не подходит,
х2=2.
ON=2+6=8 дм - это ответ.

Теперь докажем, что отрезок  MN виден из точки К под большим углом.
Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r.
На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r.
Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды.
∠MKN=α, ∠MPN=β.
Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды.
MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R.
MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r.
Сравним синусы, предположив, что они равны.
MN/2R=MN/2r.
1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα.
Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°.
В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера,
значит α>β.
Доказано.