В правильной треугольной пирамиде SABC N – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что AB = 6 и SN = 6. Найдите площадь боковой поверхности. (50б)

Эта задача на много проще, чем кажется.
Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a,
то стороны исходного треугольника будут такие
(a + r, b + r, 35)
стороны меньшего треугольника
(a, r, 15)
стороны большего
(r, b, 20)
и все эти три треугольника подобны между собой.
отсюда a/r = 15/20 = 3/4;
то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5)
То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4.
То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20)
Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294;
длина полуокружности πr = 12π;

Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.

Основание прямой призмы — ромб с острым углом 45°, высота призмы равна 15 см. Цилиндр с боковой поверхностью 90π см² вписан в призму.  Определи площадь боковой поверхности призмы.

Объяснение:

S(бок.призмы)=Р(осн)*h , где h-высота призмы. Высота призмы совпадает с высотой цилиндра.

Найдем сторонууууу ромба.

В основании призмы-ромб с вписанной окружностью (касается сторон ромба ). Высота ромба составляет 2r .

S(бок.цилиндра)=2π * r* h  , или

90π=2π * r* 15  или  r=3 см.            Тогда высота ромба 6см.

Рассмотрим ΔАВК-прямоугольний , sin45°=ВК/АВ  ,√2/2=6/АВ , АВ=6√2 см. Тогда   Р(ромба)=4*6√2=24√2 (см)

S(бок.призмы)=24√2*15=360√2 (см²)