В треугольнике АВС высота ВД = 6 см. Угол А=а=120 градусам, угол В=b=15 градусам. Найдите сторону АD и радиус Rописанной окружности

А) у прямоугольных треугольников AHB1 и AA1C есть общий угол A1AC; значит равны и вторые углы. (AA1 - третья высота)
б) если построить на AH окружность, как на диаметре, то точки C1 и B1 попадут на неё из за того, что углы AC1H и AB1H прямые. Поэтому AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1;
Отсюда по теореме синусов B1C1 = AH*sin(∠BAC) = 21/2;
Однако :) стороны треугольника AB1C1 можно выразить через стороны треугольника ABC так
AB1 = AB*cos(∠BAC); AC1 = AC*cos(∠BAC);
поскольку ∠BAC общий, треугольники подобны с коэффициентом подобия cos(∠BAC); то есть BC*cos(∠BAC) = B1C1 = AH*sin(∠BAC);
BC = AH*tg(∠BAC) = 21/√3 = 7√3;

Дано:

∆АВС - прямоугольный.

ВЕ - биссектриса.

∠А = 30°

ВЕ = 6 см

Найти:

∠ВЕА; СЕ; АС

Решение.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°

=> ∠В = 90 - 30 = 60°

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> ВС = 1/2АВ

∠ЕВА = ∠ЕВС = 60 ÷ 2 = 30° (т.к. ВЕ - биссектриса)

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> СЕ = 1/2ВЕ = 6 ÷ 2 = 3 см.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

=> ∠ВЕС = 90 - 30 = 60°

СУММА СМЕЖНЫХ УГЛОВ РАВНА 180°

=> ∠ВЕА = 180 - 60 = 120°

∠В = ∠А = 30°

=> ∆АЕВ - равнобедренный.

=> ЕВ = ЕА = 6 см, по свойству равнобедренного треугольника.

СА = 3 + 6 = 9 см

ответ: 120°; 9 см; 3 см.