Втреугольнике авс угол вас = 45°, угол авс = 75°, |вс| = а, расстояние от в до (ас) равно h. найдите |ас|​

Пусть BC=a, AC=b, AB=c, P=a+b+c и r - радиус вписанной окружности.
Тогда т.к. cos(ABC)=1/2, то по т. косинусов b²=a²+c²-aс.
Кроме того, a²+c²=(a+c)²-2ac=(P-b)²-2ac, значит подставляя это в т. косинусов, получим  b²=(P-b)²-2ac-aс, откуда ac=((P-b)²-b²)/3=(P-2b)P/3.
Значит площадь S треугольника ABC равна
S=(1/2)*ac*sin(60°)=(P-2b)P/(4√3)=P*r/2, откуда
r=(P-2b)/(2√3)=(15-2·6)/(2√(3π))=√3/(2√π).
Значит площадь вписанного круга равна π·r²=π·3/(4π)=3/4.

более короткий).
Если обозначить через x,y,z отрезки на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны треугольника, то получим x+y+z=P/2 и x+y=b, откуда z=P/2-b. Т.к центр впис. окружности лежит на биссектрисе угла в 60 градусов, то r=z·ctg(30°)=(P-2b)/(2√3).

60 ед²

Объяснение:

Пусть прямоугольный треугольник АВС. Угол  С=90°. Точка касания делит гипотенузу на отрезки: х и 17-х. Отрезки катетов от вершин А и В до точек касания равны х и 17-х, как касательные, проведенные из одной точки. Отрезки катетов от вершины С до точек касания равны радиусу вписанной окружности, то есть равны 3. Тогда катеты равны х+3 и 17-х+3 = 20-х. По Пифагору:

(х+3)² + (20-х)² = 17²  => x² - 17х +60 =0. =>

х1=5, х2 =12. =>   катеты равны 8 и 15 ед. в обоих случаях.

Sabc = (1/2)*8*12 = 60 ед².