Найдите точки экстремума и определите их характер: y=-x^3+7+12x

Добрый день! Рассмотрим заданную функцию y = -x^3 + 7 + 12x и найдем ее точки экстремума и характер.

1. Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Для этого возьмем производную от функции по переменной x:
y' = -3x^2 + 12.

2. Теперь приравняем полученную производную к нулю:
-3x^2 + 12 = 0.

3. Решим полученное уравнение:
-3x^2 = -12,
x^2 = 4,
x = ±2.

Мы получили два значения x, равные 2 и -2.

4. Теперь найдем значения y при x = 2 и x = -2, чтобы определить соответствующие точки экстремума.

Подставим x = 2 в исходную функцию:
y = -(2)^3 + 7 + 12(2) = -8 + 7 + 24 = 23.

Подставим x = -2:
y = -(-2)^3 + 7 + 12(-2) = -(-8) + 7 - 24 = 25.

Таким образом, получили две точки экстремума: (2, 23) и (-2, 25).

5. Чтобы определить характер точек экстремума, нужно проанализировать вторую производную функции.

Для этого возьмем вторую производную от исходной функции:
y'' = -6x.

6. Подставим значения x = 2 и x = -2 во вторую производную:
y''(x = 2) = -6(2) = -12,
y''(x = -2) = -6(-2) = 12.

7. Если вторая производная больше нуля (y'' > 0) в точке экстремума, то точка является минимумом. Если же вторая производная меньше нуля (y'' < 0), то точка является максимумом.

Анализируем полученные значения:

y''(x = 2) = -12 < 0,
y''(x = -2) = 12 > 0.

Таким образом, точка (2, 23) является максимумом, а точка (-2, 25) является минимумом.

В итоге, мы нашли две точки экстремума функции y = -x^3 + 7 + 12x: (2, 23) - максимум и (-2, 25) - минимум.