Даны точки A(4,2,4), B(1,0,3), C(2,-2,-2), D(-3,4,4).Точки U, V, W - середины отрезков AB, BC, CD соответственно 1. Найдите растояние между точками U и W.

2. Найдите объем тетраэдра ABCD.

3. Найдите площадь треугольника ABC

4. Найдите косинус тупого угла между плоскостями ABC и DBC.

5. Найдите синус острого угла между пл-ю ABC и прямой DB.

6. Найдите расстояние от точки С до прямой AB.

7. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

8. Найдите точку пересечения прямой UW с плоскостью ADV.

9. Найдите точку K на прямой AB так, чтобы DK перп. AB.

10.Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Полная поверхность усеченного конуса складывается из площадей оснований и из боковой поверхности конуса. Площади основания - это площади кругов соответствующих радиусов, т.е. πr² и πR². Их сумма - π(R²+r²).

Площадь боковой поверхности усеченного конуса есть разность боковых площадей полных конусов, построенных на большем и меньшем основаниях. Площадь боковой поверхности полного конуса равна πRL, где R - радиус основания, а L - длина образующей.

Достроим усеченный конус до полного. Т.к. основания параллельны друг другу, то углы между образующей и каждым из основанием равны. Длина образующей каждого из конусов определяется из соответствующего прямоугольного треугольника и равна радиусу основания, деленного на косинус угла между образующей и основанием.

L=R/cosα; l=r/cosα - длины образующих для большего и меньшего оснований соответственно.

Боковая поверхность большего конуса равна πRL=πR(R/cosα)=πR²/cosα. Аналогично, боковая поверхность меньшего конуса равна πr²/cosα.

Значит, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна их разности, т.е. πR²/cosα-πr²/cosα=π(R²-r²)/cosα.

Т.о., площади полной поверхности равна π(R²+r²)+π(R²-r²)/cosα.

5) Периметр квадрата со стороной AM равен 4AM.

4AM=2BC <=> AM=BC/2

Отрезок из прямого угла к гипотенузе, равный ее половине - медиана.

AM - медиана и высота, следовательно △ABC - равнобедренный, острые углы 45.

6) Продолжим перпендикуляр BO до пересечения с AD в точке P.

OBM= 90-OMB =BCM

△ABP=△BCM (по катету и острому углу)

AP=BM=BN => PD=NC

PNCD - прямоугольник, диагонали являются диаметрами описанной окружности.

COP=90, точка O лежит на окружности с диаметром CP.

Вписанный угол NOD опирается на диаметр ND, NOD=90