по формуле Герона считаем площадь,
S = 336; (полупериметр 48, остальные сомножители 28, 14 и 6)
Отсюда высота к стороне 42 равна H = 2*336/48 = 16;
Далее очевидная пропорция, поскольку верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x - сторона II основанию 42, y - сторона II высоте H = 16)
(16 - y)/16 = x/42; (отношение высот равно отношению оснований)
x + y = 20; (дано в условии)
Решаем эту систему 2 уравнений с 2 неизвестными, получаем
х = 84/13; y = 176/13;
На самом деле, высоту можно найти и без формулы Герона.
Если z - расстояние от вершины, общей для сторон 42 и 20 до основания высоты на сторону 42, то
z^2 + H^2 = 20^2
(42 - z)^2 + H^2 = 34^2; 42^2 - 84*z + z^2 + H^2 = 34^2; 84*z = 42^2 + 20^2 - 34^2;
z = 12; H = 16 (у нас тут египетский треугольник затесался:) (12, 16, 20))
1. Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:
BD = √(AB² - AD²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу:
AD² = BD · DC
DC = AD² / BD = 144 / 16 = 9 см
ВС = BD + DC = 16 + 9 = 25 см
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
AC = √(BC² - AB²) = √(625 - 400) = √225 = 15 см
cos∠C = AC / BC = 15 / 25 = 3/5 = 0,6
2. ΔABD: ∠ADB = 90°,
cos∠A = AD / AB
AD = AB · cos 41° ≈ 12 · 0,7547 ≈ 9,1 см
ΔADH: ∠AHD = 90°,
sin∠A = DH / AD
DH = AD · sin41° ≈ 9,1 · 0,6561 ≈ 6 см
Sabcd = AB · DH ≈ 12 · 6 ≈ 72 см²
