подробное решение)
Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна 〖12мм〗^2, его высота 3 мм. Найти объем прямоугольного параллелепипеда.​

1. PABCD - правильная пирамида. PO_|_ (ABCD)
РА=10 см, РО=8 см, <POA=90°
ΔPOA. по теореме Пифагора: AO²=PA²-PO²
AO²=10²-8², AO²=36, AO =6 см.
ΔADC: AC=2AO, AC=12  см, AD=DC=a
по теореме Пифагора: AO²=AD²+CD²
12²=a²+a², 144=2a², a²=72, a=√72, a=6√2 см
ответ: сторона основания АВ=6√2 см

2. Sбок.пов. =(1/2)Pосн*h
h - апофему боковой грани правильной пирамиды найдем по теореме Пифагора из ΔАКР: PK_|_AB, AK=(1/2)AB, AK=3√2 см
PA²=AK²+PK², 10²=(3√2)²+PK², PK²=100-18, PK²=82, PK=√82 см
S=(1/2)*4*6√2*√82=12√164=12√(4*41)=24√41
S бок.=24√41 см²

Обозначим точку пересения АМ с BD  - точка Р
Выберем точку К на стороне AD.  АК=КD=ВМ=МС
Проведем CK.
СК || AM, так как
треугольники АВМ  и КСD   равны по двум сторонам и углу между ними  ( АВ=СD   и ВМ=КD, угол В равен углу D)
из равенства треугольников следует равенство углов (угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4), но и смежные к ним тоже равны, поэтому внутренние накрест лежащие углы равны, прямые параллельны

Точка пересечения СК с BD  - точка Т
По теореме Фалеса
Из треугольника АРD:
АК=KD,  значит  и    РТ=ТD
Из треугольника ВТС:
ВМ=МС, значит и ВР=РТ
ВР=РТ=РD
ВР:PD=1:3