Объяснение:
5. Нарисуем пирамиду, назовем центр основания O.
Нужно найти отрезок PO. Для этого нужно найти треугольник, из которого можно посчитать PO по теореме Пифагора( то есть прямоугольный треугольник, в котором участвует PO). Раз такого треугольника не видим явно из условия, придется его построить, при этом нужно задействовать известные данные. Нам известна диагональ квадрата, значит, можно посчитать его сторону, также известна длина отрезка PH.
Поэтому построим треугольник POH, проведем OH. Треугольник POH будет прямоугольным, потому что PO - отрезок, соединяющий вершину правильной пирамиды с центром ее основания, а такой отрезок перпендикулярен основанию пирамиды. Тогда в ΔPOH угол ∠POH - прямой.
Осталось найти OH. Так как PO перпендикулярно плоскости основания, а PH перпендикулярно BC, то по следствию из теоремы о трех перпендикулярах OH будет перпендикулярно BC.
H - середина BC(PH - высота равнобедренного треугольника, значит, PH также и медиана, а Δ-к равнобедренный, потому что пирамида правильная ), поэтому CH в 2 раза меньше BC. Прямоугольные треугольники OHC и ABC подобны по двум углам, поэтому OH также в 2 раза меньше AB.
AB - сторона квадрата ABCD, а сторона квадрата в 
меньше его диагонали. Тогда AB = 12/
Теперь находим OP по теореме Пифагора
OP = 
= 
= 3 см
Достаточно заметить, что 5^2 + 12^2 = 13^2, то есть, треугольник является прямоугольным.
Тока О лежит на гипотенузе.
Вершина при прямом угле, точка О и точки касания окружности и катетов образуют квадрат (так как касательная должна быть перпендикулярна отрезку из центра окружности, проведённому к точке касания).
Сторона этого квадрата и будет радиусом окружности. Обозначим длину этой стороны за x. Расстояния от точки О до концов гипотенузы обозначим за y и z.
Тогда для двух маленьких треугольников, получившихся при проведении радиусов к точкам касания, можно записать:
(5-x)^2 + x^2 = y^2 - по теореме Пифагора
(12-x)^2 + x^2 = z^2 - по теоерме Пифагора
y+z = 13 - так как y и z вместе дают гипотенузу
Решим полученную систему уравнений:
1) заменим z на y-13 и исключим 3-е уравнение:
(5-x)^2 + x^2 = y^2
(12-x)^2 + x^2 = (13-y)^2
2) раскроем скобки и приведём подобные:
25 - 10x + 2x^2 = y^2
- 24x + 2x^2 = 25 - 26y + y^2
3) вычтем второе уравнение из первого и приведём подобные:
25 + 14x = 26y - 25
4) Выражаем y:
50 + 14x = 26y
y = (50 + 14x)/26
5) Подставляем полученное выражение для y в уравнение 25 - 10x + 2x^2 = y^2:
25 - 10x + 2x^2 = ((50 + 14x)/26)^2
25 - 10x + 2x^2 = (50 + 14x)^2 / 676
16900 - 6760x + 1352x^2 = (50 + 14x)^2 = 2500 + 1400x + 196x^2
1156x^2 - 8160x + 14400 = 0
289x^2 - 2040x + 3600 = 0
(17x)^2 - 2*17*60x + 60^2 = 0
(17x - 60)^2 = 0
17x - 60 = 0
x = 60/17
ответ: 60/17
