Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,5,7) и оси Ox​

1. Сначала я докажу, что АС НЕ МОЖЕТ БЫТЬ биссектрисой угла BAD (то есть угла А) и <ACD НЕ МОЖЕТ БЫТЬ равным 135° в равнобедренной трапеции АВСD при условии, что ВС=10см, а AD=20см.
Для этого продолжим боковые стороны АВ и DC до их пересечения в точке Е. Треугольник АЕD равнобедренный и в нем отрезок ВС является средней линией, так как он параллелен основанию AD и равен его половине. Следовательно, точки В и С делят боковые стороны треугольника пополам.
Углы при основании равны 30°, значит угол при вершине равен 120° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Отметим, что cos120°=cos(180-60)=-cos60° и по теореме косинусов найдем боковую сторону нашего треугольника. Пусть она равна Х,
тогда AD²=X²+X²-2*X*X*Cos120° или 400=2X²+2X²(1/2). Или
400=3*X² или 20=X√3.
Отсюда Х=20/√3=20√3/3 см. Это боковая сторона. Тогда половина этой стороны АЕ, то есть АВ=10√3/3 ≈5,8 см и треугольник АВС НЕ РАВНОБЕДРЕННЫЙ, а значит
АС - НЕ БИССЕКТРИСА угла ВАD и <ACD НЕ РАВЕН 135°, что и требовалось доказать.
2. Найдем периметр трапеции, не опираясь на не верное условие задачи. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла на основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности двух оснований. Пусть ВН - высота, тогда
АН=(20-10)/2=5см. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла 30° (дано).  Значит АВ²=АВ²/4 + АН² или 3АВ²=100.
Отсюда АВ=10/√3=10√3/3. Мы видим, что этот ответ совпадает с полученным результатом в п1.
Таким образом, периметр трапеции равен
Р=20+10+2*(10√3/3)=30+20√3/3 см.
Р=30+20√3/3.

Теперь посмотрим, что же хотел получить в ответе составитель этой задачи.
Если <ACD=135°(не может быть - доказано выше), а <ADC=30° то
<АСВ=180°-135°-30°=15°, то есть
<ACB равен половине угла ВАD и, значит АС - биссектриса.
Тогда АВС - равнобедренный треугольник и АВ=ВС.
Периметр равен 10+10+10+20=50см.

Объяснение:

Чтобы решать такие задачи, нужно уметь правильно определять, что есть наша прямая, что есть наклонная к нашей прямой, а что есть проекция наклонной.

4. В четвертой задаче у вас по условию дан уже прямой угол, от этого нужно отталкиваться.

Нам дан прямой угол между BC и AC, эти прямые обе лежат в плоскости нижнего треугольника, значит какая то из них будет являтся искомой прямой, а какая то будет  проекцией наклонной на эту же плоскость нижнего треугольника. BC не может быть ничьей проекцией по рисунку, значит она будет являтся нашей прямой. Тогда AC

будет являться чьей-то проекцией. По рисунку видно, что AC будет являтся проекцией MC и MA перпендикуляр к плоскости ACB(если не понятны мои рассуждения, рекомендую разобраться, как строятся

наклонные и их проекции, а также разобраться и с самой теоремой о этих перпендикулярах).  

Таким образом, зная все три прямые, можем применять теорему о трех перпендикулярах.

BC (наша прямая в плоскости) перпенд. AC (AC проекция MC) - по условию, значит BC также будет перпендикулярна и самой MC - по теореме.

Дальше просто техническая часть, находим BC из нижнего прямоугольного треугольника и применяем свойство синуса для нахождения гипотенузы MB в треуг. MCB.

5. В пятом задании необходимо правильно определить искомое расстояние, (как известно, расстояние это кратчайший путь, т.е перпендикуляр). Когда мы его проведем (пусть это будет MO),

он будет являтся нашей наклонной на плоскость ABC, далее необходмо будет провести проекцию данной наклонной в плоскости ABC. Так как MO - уже перпендикуляр к

AC, то и его проекция в плоскости также будет перпендикулярна к AC. Далее, похожая техническая часть 4-го задания, увидим в плоскости ABC необходмый прямоугольный треугольник,  

применяя свойство синуса найдем катет. И в нашем искомом треугольнике также найдем сторону по Пифагору (зная, что MB перпендикуляр к плоскости).

P.S Делать нечего на третьем курсе физмата <3