Проведем прямую АК || O₁O₂
AO₁O₂K - параллелограмм, в котором противоположные углы равны
<O1=<K=60° <O₂= <AKB=180-60=120°
Рассмотрим Δ АКВ
АК=О₁С+СО₂=r+R=13+35=48
КВ=О₂В -О₂К=35-13=22
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов)
а²=b²+c²-2bc*cos α
АВ=√48²+22²*-2*48*22*соs <AKB <AKB=120°, (cos120°=-0,5)
АВ=√2304+484 -2112*(-0,5)=√2788+1056=√3844=62
ответ: АВ=62
Рассмотрим 2 треугольника АОN и ВОN. Они оба прямоугольные - углы ОАN и ВОN - прямые между касательными и радиусом окружности. Треугольники равны, т.к. ОА=ОВ - радиусы одной окружности, ON - общая. Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны ОА лежит угол АNО, а против стороны ОВ лежит угол ОNВ. Они равны, значит, ON - биссектриса угла АNВ. А если одни острые углы прямоугольного треугольника равны, то и другие равны. Значит, угол АОN равен углу ВОN. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла АОN лежит АN, а против угла ВОN лежит BN. Значит АN равно ВN. Что и требовалось доказать.
