Трапеция АВСД. АВ=СД, точка М - касание на АВ, точка Л - касание на ВС, точка Р -касание на СД, точка Т -касание на АД
МВ/АМ=1/4, АМ=АТ как касательные проведенные из одной точки = ДК=ДР= 4 части угол А=уголД, ВМ=ВЛ=СЛ=СР = 1 части как касательные
АД = АТ+ДТ=4+4=8 частей
ВС=ВЛ+СЛ=1+1=2 части, проводим высоты ВН и СК на АД. треугольники АВН и КСД равны как прямоуголные треугольники по гипотенузе и острому углу уголА=уголД, АН=КД
четырехугольник НВСК - прямоугольник ВС=НК=2 части
АН=КД = (АД-НК)/2= (8-2)/2=3 части, АВ=АМ+ВМ=4+1=5 частей
Треугольник АВН, ВН=корень(АВ в квадрате - АН в квадрате) = корень(25-9) = 4 части
ВН=4 части = диаметру вписанной окружности = 2 х 12 =24
1 часть = 24/4=6
АВ = 5 х 6 = 30 =СД
ВС = 2 х 6 = 12
АД = 8 х 6 =48
Периметр = 30+30+12+48=120
1. Пусть биссектриса пересекает АД в точке М. Тогда обозначим АМ за х. Тогда МД = 3х.
2. Проведем из точки М прямую, параллельную АВ. Она будет пересекать ВС в точке Н. Фигура АВНМ - параллелограмм, по двум параллельным сторонам. ВМ - диагональ. Т.к. ВН параллельна АМ, то угол НВС равен углу ВМА, они накрестлежащие. Тогда ВМА = углу ВАМ (т.к. ВМ - биссектриса). Следовательно, треугольник ВАМ - равнобедренный по признаку. Тогда ВА = х.
3. Так как полупериметр = 55, составляем уравнение: х + (х+3х) = 55
х=11.
ответ: АВ = 11
