пусть середина стороны АВ т. К
пересечением пл. (альфа) и пл. треугольника (АВС) является прямая k
прямая k параллельна стороне ВС
в противном случае, она должна пересечь прямую(ВС)
НО точка пересечения должна принадлежать также пл. (альфа)
а это НЕВОЗМОЖНО -
пл. (альфа) и ВС не имеют точек пересечения - по условию они параллельны
значит прямая k ПАРАЛЛЕЛЬНА ВС
прямая k является секущей сторон АВ и АС и делит их на пропорциональные отрезки
отсюда следует , что прямая k и плоскость альфа проходит также через середину стороны АС.
отрезок прямой k (между сторонами АВ и АС)- это средняя линия треугольника АВС
Доказательство в объяснении и приложении.
Объяснение:
Если прямые I1 и I2 - касательные к соответствующим окружностям, то ∠ВАС равен половине дуги АС (большой окружности) по свойству угла между хордой и касательной. ∠ADC равен половине дуги АС (большой окружности) как вписанный, опирающийся на эту дугу. =>
∠АDC = ∠ВАC.
∠ACD равен половине дуги АС (малой окружности) по свойству угла между хордой и касательной. ∠AВC равен половине дуги АС (малой окружности) как вписанный, опирающийся на эту дугу. =>
∠АСD = ∠ABC.
В треугольнике ACD ∠CАD = 180 - ∠АСD - ∠ADC.
В треугольнике AВC ∠АСВ= 180 - ∠АBC - ∠BAC. =>
∠CАD = ∠АСВ. Это внутренние накрест лежащие углы про прямыхI3 и I4 и секущей АС => прямые I3 и I4 - параллельные, что и требовалось доказать.
