Обозначим ВС=х, АД=2х, проведем высоту СК,обозначим Н, СК перпендикулярна АД. S=(х+2х)·Н/2 - площадь трапеции, по условию она равна 30. Значит х·Н=20. Это очень нужное в дальнейшем значение.
S (Δ APД) = 1/2·АД·H/2 (точка P - середина АВ) S( Δ APД) = 1/2 х·Н=10 ( я обращала внимание, что х·Н=20) Проведем высоту RМ паралелльно СК. Из подобия треугольников СКД и RМД RM=2H/3 S( Δ ARД) = 1/2·2х·2Н/3= 2х·Н/3= 40/3 Площадь треугольника APД состоит из площадей треугольников APQ и AQД. В сумме дает 10 Площадь треугольника ARД состоит из площадей треугольников QPД и AQД, сумме 40/3. Запишем это в виде равенств и вычтем из второй строки первую Получим S ( ΔQPД) = S (Δ APQ) + 10/3 Обозначим S ( Δ APД) = s Выразим площади всех треугольников через s S ( Δ ABQ) = s ( у треугольников равны основания АР=РВ и высота общая) S ( Δ AQД) = 10 - s S (Δ QRД) = s + 10/3 ( см. выше) S( Δ BCR) = 1/2 ·ВС· Н/3 ( высота из точки R на сторону ВС, в силу условия ДR:RC=2:1) = 1/6· х·Н= 20/6=10/3 S (Δ ABR) = S ( всей трапеции) - S( ΔARД) - S (Δ BCR)= 30 - 40/3 - 10/3=40/3 Получили, что площади треугольков ABR и ARД равны. Поскольку основание AR - общее, значит и высоты, проведенные из точек В и Д на сторону AR равны. Значит и площади треугольников ABQ и AQД тоже равны. У них основание общее AQ. Высоты равны. Поэтому s+s=10-s s=10|3 ответ Площадь треугольника APQ равна 10/3
Уравнение касательной в точке (x1, y1) к эллипсу (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1; x*x1/a^2 + y*y1/b^2 = 1; Вывести его проще простого - дифференциал в точке (x1, y1) равен 0, заменяется dx = x - x1; dy = y - y1; получается (x1/a^2)*(x - x1) + (y1/b^2)*(y - y1) = 0; откуда сразу получается нужное уравнение. Касательная в точке (x2, y2) на втором эллипсе (x/с)^2 + (y/d)^2 = 1; x*x2/c^2 + y*y2/d^2 = 1; Эти две прямые должны совпадать. То есть x2/c^2 = x1/a^2; y2/d^2 = y1/b^2; если переписать уравнения эллипсов так a^2*(x1/a^2)^2 + b^2*(y1/b^2)^2 = 1; c^2*(x2/c^2)^2 + d^2*(y2/d^2)^2 = 1; и обозначить u = (x1/a^2)^2 = (x2/c^2)^2; v = (y1/b^2)^2 = (y2/d^2)^2; то получается просто линейная система 2х2; a^2*u + b^2*v = 1; c^2*u + b^2*v = 1; У этой системы единственное решение (если есть, конечно, и не просто есть, а должно быть положительно определено, то есть u > 0; v > 0). Уравнения всех ЧЕТЫРЕХ общих касательных получаются потом перебором знаков перед корнями. То есть уравнения касательных будут +-x*√u +- y*√v = 1; Вот вся теория. Как это выглядит для этой задачки. a^2 = 6; b^2 = 1; c^2 = 4; d^2 = 9; 6*u + v = 1; 4*u + 9*v = 1; u = 4/25; √u = 2/5; v = 1/25; √v = 1/5; +-x*2 +- y = 5; вроде так. (ну, в смысле, 2x + y = 5; 2x - y = 5; -2x + y = 5; -2x - y = 5; ясно, что эти прямые образуют ромб). Решение не получилось бы, если бы эллипсы не пересекались.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
