даны координаты вершин четырехугольника a (2;-2) b (3; 1) c (7;7 ) d (7; 1) доказать что abcd трапеция та знайти довжину середньоі лініі

Из прямоугольного треугольника ABD
AD^2=AB^2+BD^2=9+16=25
AD=5
Площадь основания равна 2*площадь ABD=2*(3*4/2)=3*4=12
AD параллельно BC, следовательно параллельно B1C1, поэтому AD принадлежит плоскости AB1C1, и это прямая пересечения плоскости основания с плоскостью AB1C1
Пусть BE высота в треугольнике ABD
Тогда угол B1EB это угол между плоскостью основания и плоскостью AB1C1, так как BE перпендикулярно AD, B1E перпендикулярно AD по теореме о трёх перпендикулярах.
Треугольник B1EB -- прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, а следовательно, равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому B1B=BE
Чтобы найти высоту BE выразим площадь треугольника ABD двумя
площадь ABD = AB*BD/2 = AD*BE/2, отсюда
BE=AB*BD/AD=3*4/5=12/5=2,4

Площадь полной поверхности равна
2*площадь основания+площадь боковой поверхности
площадь боковой поверхности = периметр основания умножить на высоту
периметр основания = AB+BC+CD+AD=3+5+3+5=16
тогда площадь боковой поверхности 16*2,4=38,4 
площадь полной поверхности
2*12+38,4=24+38,4=62,4

Угол между медианой и высотой равен 7x, а два других угла в тройке при вершине - по 4x. Тогда два других угла треугольника равны 90° - 4x и 90° - 11x;
Если обозначить медиану m, а обе половинки стороны, к которой она проведена, буквой c (то есть вся сторона равна 2c), то из теоремы синусов для обоих треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, следует
m/c = sin(90° - 4x)/sin(11x) = cos(4x)/sin(11x);
m/c = sin(90° - 11x)/sin(4x) = cos(11x)/sin(4x);
откуда сразу следует sin(8x) = sin(22x); или sin(7x)*cos(15x) = 0;
легко видеть, что по смыслу задачи 7x < 180°; то есть sin(7x) не равен 0;
то есть остается cos(15x) =0;
опять таки, по смыслу задачи, весь угол при вершине, из которой выходят высота и медиана, как раз и равен 15x; единственное осмысленное решение, таким образом, соответствует случаю, когда этот угол прямой - только в этом случае косинус угла равен 0; более старшие решения геометрически невозможны.
отсюда x = 6; и углы треугольника 90; 24; 66;