В треугольнике MPK MP=9√3, угол P=75°, угол K=60°. Найдите сторону PK.

Треугольник BC1A1 - равносторонний, все его углы равны 60°;

Более того, фигура BC1A1D - правильный тетраэдр. Это позволяет легко (это еще мягко сказано, скорее ЧЕНЬ легко) доказать многие, на первый взгляд, сложные соотношения в тетраэдре. Например, если в правильном тетраэдре соединить середины скрещивающихся сторон, то все три таких отрезка взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке - середине этих отрезков :))). В построенной "конструкции" речь идет об отрезках, соединяющих центры противоположных граней куба. Ясно, что они все взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре куба. И это - все решение :)

Верные утверждения (на плоскости):

1)  ГМТ, находящихся на заданном ненулевом расстоянии от данной прямой, — две прямые , параллельные заданной прямой, и находящиеся на заданном расстоянии по обе стороны от заданной прямой.

2)  ГМТ, равноудаленных от двух точек А и В, — прямая ( серединный перпендикуляр отрезка АВ).

3)  ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых, — прямая, параллельная двум заданным параллельным прямым и находящаяся на одинаковом расстоянии от них (эта прямая проходит через середину их общего перпендикуляра).

4)  ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — две прямые, на которых лежат биссектрисы всех углов, полученных при пересечении заданных прямых.

5)  ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом — окружность, с диаметром АВ, за исключением точек А и В.