Знайти координати середини відрізка АВ, якщо А(2; -3), В(-6;7)​

Докажем, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, то этот треугольник — прямоугольный.

Утверждение.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90º.

Дано:

∆ABC,

CO — медиана,

CO=1/2 AB

Доказать: ∠ACB=90º.

Доказательство.

1) Так как CO — медиана треугольникаABC и CO=1/2 AB (по условию), то CO=AO=BO.

Поэтому, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC,

треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по определению равнобедренного треугольника).

2) Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны,
∠OAC=∠OCA,

∠OBC=∠OCB.

Пусть ∠OAC=OCA=φ.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике AOC

∠AOC=180º-(∠OAC+∠OCA)=180º-2φ.

3) ∠AOC+∠BOC=180º (как смежные).

Поэтому, ∠BOC=180º-∠AOC=180º-(180º-2φ)=180º-180º+2φ=2φ.

4) В треугольнике BOC

∠OBC=∠OCB=(180º-∠BOC):2=(180º-2φ):2=90º-φ.

5) ∠ACB=∠OCB+∠OCA=90º-φ+φ=90º.

Что и требовалось доказать.

Треугольник АВС, угол А - прямой; АН - высота; АК - медиана; медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:АК=ВС/2=ВК; треугольник АВК равнобедренный; углы при основании АВ равны: угол АВК=углу КАВ=х°; в прямоугольном треугольнике НАВ угол НАВ=90-х; угол НАК по условию равен 18°; составим уравнение: угол НАК=угол НАВ - угол КАВ; 18=90-х-х; 2х=90-18; х=72:2=36°; угол АВС равен 36°, это меньший острый угол в прямоугольном треугольнике АВС; найдём больший острый угол АСВ равен 90-36=54°; ответ: 54