Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб со стороной a=8 см и острым углом 60°, если большая диагональ призмы наклонена к плоскости ее основания под углом 30°.
Дано : ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая призма ( AA₁ ⊥ пл.ABCD )
AB=BC=CD=DA = a = 8 см ( ABCD - ромб)
∠BAD = 60°
∠B₁CA = 30 ° - - - - - - -
Sполн пов - ?
Sполн пов= 2Sосн + Sбок = 2*a*a*sin60° +4a*h || h =AA₁ ||
Sполн пов= a²√3 + 4a*h
Из ΔA₁AC : AA₁ =AC*tg(∠B₁CA) =AC*tg30° = AC/√3 =a√3 /√3 = a
Δ ABD - равносторонний (∠BAD = 60°) ⇒ AO =a√3 /2 ; AC=2AO =a√3
Sполн пов= a²√3 + 4a² =a²(4+√3) =8²(4+√3) см²= 64(4 +√3) см²
ответ: 64(4 +√3) см² || (256+64√3) см² ||
подробности см приложение
Грани пирамиды наклонены к плоскостью основания под равными углами, следовательно, проекции их высот на основание равны радиусу вписанной в треугольник (основание) окружности. ⇒
высоты боковых граней, как наклонные из одной точки с равными проекциями, равны.
Площадь S полной поверхности пирамиды - сумма площадей основания (S1) и боковой поверхности (S2).
S=S1+S2
В основании пирамиды МАВС - равнобедренный треугольник АВС; АВ=ВС=5 см, АС=6 см.
Высота основания ВН делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
ВН=√(AB²-AH²)=√(25-9)=4
ОН- радиус вписанной окружности. r=S/p, где р - полупериметр ∆АВС.
S1=BH•AC:2=12 см²
р=(5+5+6):2=8 см
r=12/8=1,5 см
МН=ОН:cos60°=1,5:1/2=3
S2=3•h=3*8=24 см²
S=12+24=36 см²
