Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AD = 2, AA1 = 4, АВ = 2/15 . Точка M — середина ребра C1D1, точка N лежит на ребре AA1, причём AN = 3.

а) Докажите, что MN ⊥ CB1.

б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью грани BB1C1C​

а) Чтобы доказать, что MN ⊥ CB1, нам нужно показать, что векторы MN и CB1 ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

Известно, что точка M является серединой ребра C1D1, поэтому вектор MN можно найти как половину вектора C1D1:

MN = 1/2 * C1D1.

Также известно, что точка N лежит на ребре AA1, и AN = 3. То есть вектор AN можно найти как 3/4 вектора AA1:

AN = 3/4 * AA1.

Теперь нужно найти вектор CB1. Вектор CB1 можно найти как разность векторов CB и CB1, то есть:

CB1 = CB - CB1.

Осталось выразить векторы CB и CB1 через известные векторы. Заметим, что CB и CB1 параллельны, так как они лежат на ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда. Поэтому можно записать:

CB = k * AA1,
CB1 = m * AA1,

где k и m - некоторые числа.
Теперь мы можем записать равенство:

CB1 = CB - CB1,
m * AA1 = k * AA1 - m * AA1.

Выразим AA1 через известные величины:

AA1 = AA + AN,
AA1 = 4 + 3/4 * AA1.

Перенесем все слагаемые с AA1 на одну сторону:

AA1 - 3/4 * AA1 = 4,
1/4 * AA1 = 4,
AA1 = 16.

Теперь подставим это значение в равенство, полученное выше:

m * 16 = k * 16 - m * 16.

Упростим это равенство:

2 * m * 16 = 16 * k,
m = k.

То есть k = m.

Значит, можно записать CB1 = k * AA1 или CB1 = m * AA1.

Теперь мы можем записать векторы MN и CB1 через известные векторы:

MN = 1/2 * C1D1,
CB1 = k * AA1.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

MN * CB1 = (1/2 * C1D1) * (k * AA1).

Применим свойства скалярного произведения:

MN * CB1 = (1/2 * C1D1) * (k * AA + k * AN).

Раскроем скобки:

MN * CB1 = (1/2 * C1D1) * (k * AA) + (1/2 * C1D1) * (k * AN).

Применим ассоциативность умножения:

MN * CB1 = k * [(1/2 * C1D1) * AA] + k * [(1/2 * C1D1) * AN].

Теперь вспомним, что мы хотим показать, что MN ⊥ CB1, то есть их скалярное произведение равно нулю:

MN * CB1 = 0.

Подставим найденные значения:

k * [(1/2 * C1D1) * AA] + k * [(1/2 * C1D1) * AN] = 0.

Из этого равенства можно сделать вывод, что либо k = 0, либо [(1/2 * C1D1) * AA] + [(1/2 * C1D1) * AN] = 0.

Так как мы ищем такое k, при котором MN ⊥ CB1, то k не может быть равно нулю, иначе векторы будут коллинеарны, а не ортогональны.

Следовательно, у нас остается второе равенство:

[(1/2 * C1D1) * AA] + [(1/2 * C1D1) * AN] = 0.

Теперь выразим AA и AN через известные величины. Из прямоугольного треугольника AAD1 можно найти AA:

AA^2 = (AD^2 + A1D1^2) = 2^2 + (AA1 + 4)^2 = 4 + (AA1^2 + 8*AA1 + 16) = AA1^2 + 8*AA1 + 20.

AA = √(AA1^2 + 8*AA1 + 20).

Теперь подставим это значение в выражение:

[(1/2 * C1D1) * AA] + [(1/2 * C1D1) * AN] = 0.

[(1/2 * C1D1) * (√(AA1^2 + 8*AA1 + 20))] + [(1/2 * C1D1) * 3] = 0.

[(1/2 * C1D1) * (√(AA1^2 + 8*AA1 + 20))] + (3/2 * C1D1) = 0.

Теперь нужно произвести несколько упрощений. Заметим, что (1/2 * C1D1) можно записать как (1/2 * 2 * √(AA1^2 + 8*AA1 + 20)), то есть:

(1/2 * C1D1) = √(AA1^2 + 8*AA1 + 20).

Подставим это в выражение:

√(AA1^2 + 8*AA1 + 20) * (√(AA1^2 + 8*AA1 + 20)) + (3/2 * C1D1) = 0.

Упростим:

(AA1^2 + 8*AA1 + 20) + (3/2 * C1D1) = 0.

Заметим, что мы знаем значения AA1 (4) и C1D1 (AD + AA1 = 2 + 4 = 6), поэтому можем подставить их в выражение:

(4^2 + 8*4 + 20) + (3/2 * 6) = 0,

(16 + 32 + 20) + 9 = 0,

68 + 9 = 0,

77 = 0.

Так как получилось недопустимое равенство (77 ≠ 0), то наше предположение, что MN ⊥ CB1, неверно.

Ответ: ложно, MN не ортогонально CB1.

б) Для нахождения угла между прямой MN и плоскостью грани BB1C1C нам понадобится найти угол между прямой MN и вектором нормали плоскости грани BB1C1C.

Вектор нормали плоскости грани BB1C1C можно найти как векторное произведение двух сторон этой грани.

Найдем векторы BC1 и BB1:

BC1 = C1 - B = (0, 0, 1) - (0, 2/15, 0) = (0, -2/15, 1),
BB1 = B1 - B = (0, 2/15, 1) - (0, 2/15, 0) = (0, 0, 1).

Теперь найдем вектор нормали плоскости грани BB1C1C, выполнив их векторное произведение:

n = BC1 × BB1.

n = (0, -2/15, 1) × (0, 0, 1).

Раскроем векторное произведение:

n = (2/15, 0, 0).

Теперь найдем скалярное произведение вектора нормали плоскости грани и вектора MN:

n * MN = (2/15, 0, 0) * (1/2 * C1D1).

Раскроем скобки:

n * MN = (2/15, 0, 0) * (1/2 * (0, 2, 0)).

Домножим два вектора:

n * MN = (2/15, 0, 0) * (0, 1, 0),

n * MN = 0.

Скалярное произведение равно нулю, значит, угол между вектором нормали плоскости грани и вектором MN равен 90 градусов (или они ортогональны).

Ответ: угол между прямой MN и плоскостью грани BB1C1C равен 90 градусов.