В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM.
Найдите периметр треугольника ABC, если медиана AM равена 12,9 см,
а периметр треугольника ABM равен 33,8 см.

Пусть M - середина АС.
Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае  - ∠SMH)

SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара.
ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания.
Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.

ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3
НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
НМ = а√3/6
а√3/6 = R√3
a = 6R

ΔSHM: HM / SM = cos 60°
             SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2)  = 2R√3

Sбок = 1/2 Pabc · SM = 1/2 · 3(6R) · 2R√3 = 18R²√3

Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус.
∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM),
∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30°
ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO
             cos 30° = r / R
             r = R√3/2

Длина окружности касания:
C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3

Пусть H - середина АС.
Тогда ВH - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВH⊥АС, SH⊥AC, ⇒ ∠SHB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.

Проведем ОК⊥SH.
АС⊥SHB (ВH⊥АС, SH⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = 2√3.

ΔОКН: sin 60° = OK / OH
             OH = OK / sin 60° = 2√3 / (√3/2) = 4

ΔSOH: tg 60° = SO / OH
             SO = OH · tg 60° = 4√3

ΔABC: OH = a√3/6 как радиус вписанной в правильный треугольник окружности,
              а = 6ОН / √3 = 24 / √3 = 8√3
V = 1/3 · Sосн · SO
V = 1/3 · (a²√3/4) · 4√3
V = 1/3 · 64 · 3 · √3/4 · 4√3 = 64 · 3 = 192