У данний кут A вписано в коло, що дотикаеться сторін кута в точках B і C у довільно взятій точці D проведено дотичну. Визначте перемитр трикутника, утворений дотичною і сторонами кута, а довжина відрізка дотичної , який розташований в середині кута, дорівнює 5, а довжина відрізка AB -10​

Пусть окружности с центром О и радиусом R касается внешним образом с окружностью с центром К и радиусом r. 
АВ - отрезок общей касательной. 
Углы ОАВ=КВА=90°,  как радиусы, проведенные к касательной в точку касания. 
Соединим центры окружностей отрезком ОК. 
Из  центра О большей окружности проведем параллельно АВ прямую до пересечения с диаметром меньшей окружности в точке Н.
Четырехугольник АОНВ - прямоугольник.
ОН=АВ 
Треугольник ОНК - прямоугольный.
ОК- в нем гипотенуза, ОН и ОК- катеты. 
По т. Пифагора
ОН²=ОК²-КН²
ОК=R+r
KH=R-r
OH²=(R+r)²-(R-r)²
OH²=R²+2Rr+r² -R²+2Rr-r²
OH²=2Rr+2Rr
OH²=4Rr=2R*2r=D*d, что и требовалось доказать. 

Вычислить максимальный объём цилиндра, полная поверхность которого равна 9,9см². Значение числа π в вычислениях округлить до 3.  Результат округли до десятых сантиметра.

Объяснение:

S(пол.цил.)=2πR²+2πRH  ,π=3.

9,9=2*3*R(R+H ),

R(R+H )=1,65  ,

R²+RH=1,65,  RH=1,65-R²  ,Н=(1,65-R² ): R  ,Н=(1,65/R)-R.

V (цилин.)=S(осн)*Н  ,

V (цилин.)=πR²* ( (1,65/R)-R )=π( 1,65R -R³ ).

Максимальный объем достигается в точке максимума  .

Найдем максимум  функции  V(r) . Для этого вычислим производную и приравняем к нулю :

V ’(r)=( π( 1,65R -R³ ))’ = π( 1,65 -3R² ) ;  1,65 -3R²=0  ,  R²=0,55  ,R=√0,55≈0,7.

При R<0 производная  V ’(r)>0

При R>0,7 производная  V ’(r)<0, значит R=0,7 точка максимума, в ней достигается наибольшее значение функции V(r).

Найдем объем V (цилин.)=π( 1,65R -R³ )=

=3*0,7*(1,65-0,7²)≈2,436≈2,4 (см³)