Точки b(5;1;-3) і c(-1;7;-1) симетричні відносно плозині B.Складіть рівняння цієї площини

Добрый день, вот решение вашей задачи:

а) Для доказательства того, что угол phr равен 90 градусов, нам понадобится свойство прямых углов в треугольнике.

У нас имеется треугольник kpr, в котором pr = rk. Значит, это равнобедренный треугольник, и точка h лежит на биссектрисе угла prk и rkp. Исходя из этого, у нас есть два равенства углов:
угол prh = угол krh (по условию)
угол prh = угол rhp (так как ph является биссектрисой треугольника kpr)

Теперь мы можем сделать вывод, что угол krh равен углу rhp (по свойству равенства углов). Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, то объединив это со свойством прямых углов в треугольнике (сумма углов треугольника равна 180 градусов), мы можем сделать следующие подсчёты:

угол krh + угол rhp + угол phr = 180 градусов
угол krh + угол krh + угол phr = 180 градусов (поскольку угол krh равен углу rhp)
2 * угол krh + угол phr = 180 градусов
2 * угол krh = 180 градусов - угол phr
угол krh = (180 градусов - угол phr) / 2

Таким образом, угол krh равен половине разности 180 градусов и угла phr.

Теперь вспомним равенство углов prh и krh: угол prh = угол krh.

Подставляя значение угла krh вместо угла prh в это равенство, мы получаем:
угол phr = (180 градусов - угол phr) / 2

Упрощая это уравнение, мы можем решить его следующим образом:

2 * угол phr = 180 градусов - угол phr
3 * угол phr = 180 градусов
угол phr = 180 градусов / 3
угол phr = 60 градусов

Таким образом, угол phr равен 60 градусам, а значит, он не равен 90 градусам, что опровергает утверждение a).

б) Чтобы доказать, что точка h - середина отрезка pk, нам нужно применить свойство серединного перпендикуляра.

Мы уже знаем, что угол prh = угол krh. Также, из условия задачи мы знаем, что pr = rk. Значит, у нас имеется равнобедренный треугольник kpr.

По свойству равнобедренных треугольников, высота, проведенная из вершины, делит основание пополам.

Так как точка h лежит на биссектрисе угла prk и rkp, исходя из вышеупомянутого свойства равнобедренных треугольников, мы можем сделать вывод, что h является серединой отрезка pk.

Таким образом, утверждение б) доказано.

Заключение:
Таким образом, мы доказали, что угол phr не равен 90 градусам (ответ a)), но точка h является серединой отрезка pk (ответ б)).

Чтобы найти уравнение окружности, вписанной в треугольник, нам нужно найти координаты ее центра и радиус.

1. Найдем координаты центра окружности. Один из способов это сделать - найти точку пересечения биссектрис треугольника.

a) Найдем середину отрезка SP:
xSP = (xS + xP) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0
ySP = (yS + yP) / 2 = (1 + 4) / 2 = 5 / 2 = 2.5
Таким образом, середина отрезка SP имеет координаты (0, 2.5).

b) Проведем биссектрису от точки Q до стороны SP. Биссектриса - это прямая, которая делит угол на две равные части.

Для этого нам понадобятся координаты векторов QS и QP:
xQS = xS - xQ = -2 - 6 = -8
yQS = yS - yQ = 1 - 1 = 0
xQP = xP - xQ = 2 - 6 = -4
yQP = yP - yQ = 4 - 1 = 3

Теперь найдем угол между векторами QS и QP, используя формулу скалярного произведения:
cos(α) = (QS • QP) / (|QS| ⋅ |QP|)
где QS • QP - скалярное произведение векторов QS и QP,
|QS| и |QP| - длины векторов QS и QP.

Заменим значениями:
cos(α) = (xQS ⋅ xQP + yQS ⋅ yQP) / (√(xQS^2 + yQS^2) ⋅ √(xQP^2 + yQP^2))
cos(α) = ((-8) ⋅ (-4) + 0 ⋅ 3) / (√((-8)^2 + 0^2) ⋅ √((-4)^2 + 3^2))
cos(α) = (32 + 0) / (√64 ⋅ √25)
cos(α) = 32 / (8 ⋅ 5)
cos(α) = 32 / 40
cos(α) = 4 / 5

Так как треугольник SPQ - прямоугольный, угол α равен половине угла между сторонами SP и SQ. Найдем этот угол:

sin(α/2) = √((1 - cos(α)) / 2)
sin(α/2) = √((1 - 4/5) / 2)
sin(α/2) = √(1/5 / 2)
sin(α/2) = √(1/10)
sin(α/2) = 1 / √10

Теперь найдем длину биссектрисы, то есть расстояние от точки Q до середины отрезка SP:
|QB| = |QP| ⋅ (sin(α/2) / (1 + sin(α/2)))
|QB| = √((-4)^2 + 3^2) ⋅ (1 / √10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = √(16 + 9) ⋅ (1 / √10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = √25 ⋅ (√10 / 10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = 5 ⋅ (√10 / 10 / (1 + 1 / √10))
|QB| = (√10 / 2) / (1 + 1 / √10)

Таким образом, радиус окружности равен |OT| = |QB| = (√10 / 2) / (1 + 1 / √10).

2. Теперь, зная координаты центра окружности и ее радиус, мы можем записать уравнение окружности:

(x - xT)^2 + (y - yT)^2 = r^2
где (xT, yT) - координаты центра окружности, r - радиус.

Подставим значения:
(x - 0)^2 + (y - 2.5)^2 = ((√10 / 2) / (1 + 1 / √10))^2
x^2 + (y - 2.5)^2 = (√10 / 2)^2 / (1 + 1 / √10)^2
x^2 + (y - 2.5)^2 = 10 / 4 / (1 + 2 / √10 + 1 / 10)
x^2 + (y - 2.5)^2 = 10 / (4 + 8 / √10 + 1)
x^2 + (y - 2.5)^2 = 10 / (5 + 8 / √10)
x^2 + (y - 2.5)^2 = 2/(1 + 8/5√10)
(x^2 + (y - 2.5)^2)(1 + 8/5√10) = 2

Таким образом, уравнение искомой окружности будет:
(x^2 + (y - 2.5)^2)(1 + 8/5√10) = 2.