1)Объем треугольной пирамиды SABC

равен 54. Плоскость проходит через среднюю линию МР основания АВС этой пирамиды ( МР II АС) и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей это ребро в отношении 1: 8, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды DМРB

2)Найти объем треугольной пирамиды SDBC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объем шестиугольной пирамиды равен72 .

3)Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 12, боковые ребра равны 10. Найдите объем этой пирамиды.

буду очень благодарен

Відповідь:

Пусть данная пирамида будет МАВС, а сечение её плоскостью - АВТ. 

МТ:ТС=7:8 

Плоскость разбила исходную пирамиду на две с общим основанием АВТ и вершинами С - в нижней и М- в верхней. 

Проведем в плоскости сечения прямую ТН, а из вершин образовавшихся пирамид их высоты СК и МЕ перпендикулярно к этой прямой, лежащей в плоскости сечения, а значит и перпендикулярно  плоскости их общего основания. 

Треугольники МЕТ и СТК прямоугольные с равными острыми углами МТЕ=СТК - они вертикальные.

Следовательно, эти треугольники подобны, и отношение их высот равно отношению их сторон, т.е. 

МЕ:СК=МТ:СТ=7:8 

Объем пирамиды равен 1/3 произведения её высоты на площадь основания. 

Основание у обеих пирамид общее, следовательно, их объемы относятся как 7:8 

Содержание одной части этого отношения равно 30:(7+8)=2 

Объем пирамид с равным основанием больше у той, чья высота больше.

 V САВТ=2*8=16 (ед. объема) 

Пояснення:

Пусть данная пирамида будет МАВС, а сечение её плоскостью - АВТ. 

МТ:ТС=7:8 

Плоскость разбила исходную пирамиду на две с общим основанием АВТ и вершинами С - в нижней и М- в верхней. 

Проведем в плоскости сечения прямую ТН, а из вершин образовавшихся пирамид их высоты СК и МЕ перпендикулярно к этой прямой, лежащей в плоскости сечения, а значит и перпендикулярно  плоскости их общего основания. 

Треугольники МЕТ и СТК прямоугольные с равными острыми углами МТЕ=СТК - они вертикальные.

Следовательно, эти треугольники подобны, и отношение их высот равно отношению их сторон, т.е. 

МЕ:СК=МТ:СТ=7:8 

Объем пирамиды равен 1/3 произведения её высоты на площадь основания. 

Основание у обеих пирамид общее, следовательно, их объемы относятся как 7:8 

Содержание одной части этого отношения равно 30:(7+8)=2 

Объем пирамид с равным основанием больше у той, чья высота больше.

 V САВТ=2*8=16 (ед. объема)