1.Выберите верное утверждение:
а) Если плоскость пересекает одну из параллельных прямых, то она не пересекает другую;
б) Противоположные ребра тетраэдра лежат на параллельных прямых;
в) Наклонная всегда меньше перпендикуляра, если они проведены из одной точки.
г) Все грани правильной треугольной призмы-правильные треугольники.
д) Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
2.Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его в точках А1 и В1л ежащих на сторонах АС и ВС соответственно. Найдите АА1, если А1С=5 см, А1В1=7 см, АВ=21 см.

3.Площадь сечения правильной треугольной призмы, проведенного через боковое ребро и середину противолежащей стороны нижнего основания, равна 2. Найдите длину ребра этой призмы при условии, что все ее ребра равны.
4.Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 3 см. Сторона квадрата равна 4 см. Найдите расстояние от этой точки до всех его вершин, если вершины равноудалены от нее.

Дано: ABCD — квадрат, Sabcd= 4, т.М — середина АВ, АМ=ВМ, DH⟂СМ.

Найти: DH.

Решение.

1) Найдем сторону квадрата.

АВ²= 4;

АВ= 2 (–2 не подходит).

AB=BC=CD=AD= 2.

т.M — середина АВ, значит, АМ=ВМ= 2:2= 1.

2) Мы видим два равных прямоугольных треугольника: ΔMBC и ΔMAD (равны по двум катетам).

Найдем их площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Значит, Smbc= Smad= ½•1•2= 1.

3) А площадь треугольника MDC равна разности площади квадрата и площадей треугольников MBC и MAD.

Т.е. Smdc= Sabcd–Smbc–Smad= 4–1–1= 4–2= 2.

4) Найдем сторону МС прямоугольного треугольника МВС (МС - это гипотенуза) по т.Пифагора:

МС²= МВ²+ВС²;

МС²= 1+2²;

МС²= 5;

МС= √‎5

5) Площадь обычного (произвольного) треугольника равна произведению половины основания этого треугольника на высоту, проведённую к этому основанию.

Для треугольника MDC это выглядит так:

Smdc= ½•MC•DH.

2= ½•√‎5•DH;

2 : ½ = √‎5DH;

√‎5DH= 4;

DH= 4/√‎5.

Расстояние от вершины D квадрата ABCD до прямой СМ равно 4/√‎5.

ОТВЕТ: 4/√‎5.

Дано: ABCD — квадрат, Sabcd= 4, т.М — середина АВ, АМ=ВМ, DH⟂СМ.

Найти: DH.

Решение.

1) Найдем сторону квадрата.

АВ²= 4;

АВ= 2 (–2 не подходит).

AB=BC=CD=AD= 2.

т.M — середина АВ, значит, АМ=ВМ= 2:2= 1.

2) Мы видим два равных прямоугольных треугольника: ΔMBC и ΔMAD (равны по двум катетам).

Найдем их площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Значит, Smbc= Smad= ½•1•2= 1.

3) А площадь треугольника MDC равна разности площади квадрата и площадей треугольников MBC и MAD.

Т.е. Smdc= Sabcd–Smbc–Smad= 4–1–1= 4–2= 2.

4) Найдем сторону МС прямоугольного треугольника МВС (МС - это гипотенуза) по т.Пифагора:

МС²= МВ²+ВС²;

МС²= 1+2²;

МС²= 5;

МС= √‎5

5) Площадь обычного (произвольного) треугольника равна произведению половины основания этого треугольника на высоту, проведённую к этому основанию.

Для треугольника MDC это выглядит так:

Smdc= ½•MC•DH.

2= ½•√‎5•DH;

2 : ½ = √‎5DH;

√‎5DH= 4;

DH= 4/√‎5.

Расстояние от вершины D квадрата ABCD до прямой СМ равно 4/√‎5.

ОТВЕТ: 4/√‎5.