Определить вид четырехугольника, если его вершинами являются середины сторон прямоугольника.

<BlaC=58°, <AlcB=48°.

Объяснение:

В треугольнике АВС внешний угол С (BCD) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, то есть

<BCD = 32+64 = 96°. Внутренний угол С равен 84°, как смежный с ним.

Внешний угол СВЕ равен 148° (аналогично).

Точки D, H и Е - точки касания окружности с центром la с прямыми, содержащими стороны треугольника АВС. Точки K, L и М - точки касания окружности с центром lc с прямыми, содержащими стороны треугольника АВС.

СН и СD - касательные из точки С к окружности с центром la. Следовательно, прямая Сla - биссектриса угла BCD по свойству касательных к окружности из одной точки. Итак, в прямоугольном треугольнике СНla (точка Н - точка касания, в которой радиус перпендикулярен касательной) угол HCla=96°:2 = 48°. Значит <ClaH = 42° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).

Точно так же в прямоугольном треугольнике НВla угол

<BlaH = 90 -(180-32)/2 = 16°.

Значит <BlaC = <ClaH + <BlaH = 16+42 = 58°.

Аналогичные рассуждения и относительно вневписанной окружности с центром в точке lc.

<BAM = 180-64= 116° => <LAlc = 58° => <AlcL = 32°

<LBlc = 74°  =>  <BlcL = 16°

<AlcB = <AlcL + <BlcL = 48°.

Можно проще: Так как Аlc и Blc - биссектрисы, <BAlc = <BAM:2 = 58°, a

<ABlc = <KBL:2 = (180-32)/2 = 74° Тогда в треугольнике AlcB по сумме внутренних углов треугольника

<AlcB = 180 - 58 - 74 = 48°.

Точно так же: Сla и Bla - биссектрисы,

<BCla = <BCD:2 = 96:2 =48°, a

<CBla = <EBH:2 = (180-32)/2 = 74° Тогда в треугольнике ВlаС по сумме внутренних углов треугольника

<ВlаС = 180 - 48 - 74 = 58°.

>>> идёт оформление рисунка <<< ожидайте ...

Задача решается через векторы.
Построим вектор ;

Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора от точки A

;

Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;

От точки D нужно отложить вектор высоты в обе возможные стороны

Вектор высоты перпендикулярен вектору основания , а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:

(I) , что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: (II) ;

Таким образом вектор пропорционален вектору , поскольку для вектора выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора ;

Вектор имеет длину ;

Аналогично, AB = 10

При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет , т.к ;

Значит , а стало быть ;

В итоге .

Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:

ОТВЕТ:

/// примечание: ;

/// примечание: .