Төбелері А (0;1)В (4;3)С (5;1)Д (1;-1) нүктелері болатын төртбұрыштың тіктөртбұрыш болатынын дəлелде жане ауданын тап

    Основание ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

является квадратом. Точка M – середина ребра AB, точка К –

середина ребра AD. Через прямую МК проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол альфа и пересекающая три боковых ребра параллелепипеда. Площадь полученного сечения параллелепипеда равна S. Найдите отрезок AB.

..........................

ответ:  АВ=4Ѕсоѕα/5=0,8•Ѕ•соѕα

Объяснение: (Подробно)

  Сделаем рисунок согласно условию. Построение нужного сечения  начнём  проведением плоскости BDN (на рисунке вложения она ограничена отрезками голубого цвета), образующей  угол α с плоскостью основания  данного параллелепипеда (NL перпендикулярна BD, CL - её проекция на НС) .  (MK//BD; PE//BN; TE//DN, высота HE|| HL– высоте ∆BDN) .

  Пересекающиеся МК и ЕН в плоскости МРЕТК  соответственно параллельны пересекающимся прямым BD иLN в плоскости BDN=> плоскости параллельны. Данное по условию сечение - плоскость пятиугольника  МРЕТК.

Итак, плоскость МРЕТК образует с плоскостью АВС угол α и пересекает три боковых ребра параллелепипеда.

     Диагонали основания  – AC=BD=АВ:sin45°=АВ√2 Для удобства АВ в записи решения опускается до окончательного ответа.

В   МРЕТК проведем РТ||BD=√2

MK=BD/2=(1/2)•√2 (средняя линия ∆ АBD)

AH=1/2 AL=(1/4)•√2

CH=(3/4)√2)

       Параллелепипед прямоугольный. =>

Из⊿ EHС гипотенуза ЕН=CH/cosα=(3√2)/4cosα.

ЕН и РТ пересекаются в т.О. Перпендикуляр OL  отсекает от  треугольника ЕНС подобный ему ∆HOL =>  k=HL:НC=НО:НЕ=1/3=>

НО=НЕ/3=( √2)/4cosα.

ОЕ=2НО=(√2)/2•соѕα

       Ѕ(MPETD)=S(PET)+S(МРТК)

     S(PET)=РТ•ЕО/2=0,5•√2•(√2)/2соѕα =1/2соѕα

     Ѕ(МРТК)=ОН•(МК+РТ)/2=3/4соѕα

Ѕ=3/4соѕα+1/2соѕα =5/4соѕα

      Подставим пропущенное АВ.

Ѕ=АВ•5/4соѕα=>

                    АВ=4Ѕсоѕα/5=0,8•Ѕ•соѕα

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.
1) Обозначим расстояние от В до плоскости - ВС,
от М до плоскости - МН.  
АС= проекция АВ на плоскость, ⇒ А, Н и С лежат на одной прямой. 
Отрезки, перпендикулярные  плоскости , параллельны.
Угол М=углу В как углы при пересечении параллельных МН и ВС секущей АВ, углы Н и С прямые, 
угол А общий для  ∆ АМН и ∆ АВС ⇒ они подобны.
Из подобия следует АВ:АМ=ВС:МН=(2+3):2⇒
ВС:МН=5:2
МН=2•(12,5:5)=5 м 
    Если АВ - перпендикуляр к плоскости, то расстояние от нее до В=12,5, а до М равно 2/5 от АВ и равно 5 м. 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2)Пусть наклонные будут:
 ВС=а,  ВА=а+6
ВН- расстояние от общего конца В до плоскости. 
Т.к. это расстояние общее, ВН⊥ плоскости, то 
из прямоугольного ∆ АВН
ВН²=АВ²-АН²
из прямоугольного ∆ ВСН
ВН²=ВС²-НС²⇒
АВ²-АН²=ВС²-НС²
(а+6)²-17²=а²-7²
⇒ решив уравнение, получим
12а=204
а=17 см
ВС=17 см
АВ=17+6=23 см
–––––––––––––––––––––
3) Пусть эти опоры КМ=4 м, ТЕ=8 м, МЕ=3 м. 
Т.к. обе вертикальные, то они параллельны. 
Т - выше К на 4м,  расстояние между К и точкой Р на ТЕ=3м,
 ∆ КТР  с отношением катетов 3:4 - египетский ⇒ гипотенуза КТ=5 м ( проверка по т.Пифагора даст тот же результат). 
ответ - 5 м.