с геометрией в треугольнике MNK

1) Находим углы по теореме косинусов и площадь по теореме Герона:
a      b      c       p       2p            S
4      8     5      8.5    17         8.18153                 
cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / (2*АВ*АС)
cos A = 0.9125
cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС)
 cos B = -0.575         
cos C= (АC²+ВС²-АD²) / (2*АC*ВС)
cos С = 0.859375
Аrad = 0.421442    Brad = 2.1834          Сrad = 0.53675
Аgr = 24.14685      Bgr = 125.0996        Сgr = 30.75352.

2) Длины высот:
АА₂ = 2S / BС   = 4.090767 
BB₂ = 2S  / АС = 2.04538
CC₂ = 2S / ВА = 3.272614. 

3) Длины медиан:
Медиана, соединяющая вершину  треугольника А с серединой стороны а равна 
 a     b      c
4     8       5
ма                  мв                     мс
6.364         2.12132           5.80948

4) Длины биссектрис:
Биссектриса угла А выражается:

a       b       c
4      8        5
     βa               βb                 βc  
6.0177       2.04879        5.14242.

Деление сторон биссектрисами:
                a                                    b                               c
      ВК             КС                АЕ        ЕС               АМ           МВ
1.53847    2.46154       4.4444     3.5556       3.333      1.6667.
 Деление биссктрис точкой пересечения
                  βa                           βb                           βc  
     АО              ОК           ВО        ОЕ           СО             ОМ
4.601799 1.41593 1.08465    0.96413   3.62994     1.512475
Отношение отрезков биссектрис от точки пересечения:
АО/ОК                 ВО/ОЕ              СО/ОМ
3.25                      1.125                    2.4

5)  Радиус вписанной в треугольник окружности равен:

r = 0.9625334.

Расстояние от угла до точки касания окружности:
АК=АМ         BК=BЕ           CМ=CЕ
    4.5                0.5                   3.5

6)  Радиус описанной окружности треугольника, (R):

R = 4.889058651.

         1. 84°, 84°, 96°, 96°

         2. Стороны: 1 см, 1 см,  2,5 см, 2,5 см

               Углы: 42°, 42°, 138°, 138°

Объяснение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН.

Сумма острых углов равна 90°, тогда\

∠АСН = 90° - ∠САН = 90° - 42° = 48°

Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, поэтому

∠BCD = 2∠АСН = 2 · 48° = 96°

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠CDA = 180° - ∠BCD = 180° - 96° = 84°

Противолежащие углы ромба равны:

∠АВС = ∠CDA = 84°

∠BAD = ∠BCD = 96°

2.  ABCD -  данный четырехугольник,

АС = 5 см,  BD = 2 см.

Точки К, L, M, N - середины соответствующих сторон.

Найти углы и стороны четырехугольника KLMN.

KL - средняя линия ΔАВС, ⇒

KL║AC, KL = AC/2 = 2,5 см

MN -  средняя линия ΔADC, ⇒

MN║AC, MN = AC/2 = 2,5 см

Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то это параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Аналогично,

KN - средняя линия ΔABD, ⇒

KN║BD, KN = BD/2 = 1 см

LM - средняя линия ΔBCD, ⇒

LM║BD, LM = BD/2 = 1 см.

Так как стороны параллелограмма KLMN параллельны диагоналям четырехугольника АВСD, то угол между сторонами будет равен углу между диагоналями:

∠KLM = 42°

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°, поэтому

∠LKN = 180° - 42° = 138°

Противолежащие углы параллелограмма равны:

∠KNM = ∠KLM = 42°

∠LMN = ∠LKN = 138°