3) Поставьте на конце диаметра ВО точку Д. Диаметр ВД делит окружность на две равные дуги: ∪ВАД = ∪ВСД = 180°.
Равные хорды окружности отделяют равные дуги ⇒ ∪ВА=∪ВС,
тогда ∪АД=180°-∪ВА, ∪СД=180°-∪ВС=180°-∪ВА , получили, что
∪АД=∪СД. Но на эти равные дуги опираются вписанные углы
∠1 и ∠2 ⇒∠1 =∠2 . Ч.т.д.
6) Соединим точки О и А, а также О и В.
ΔОАК=ΔОВК по гипотенузе и катету (∠ОКА=∠ОКВ=90° по условию,ОА=ОВ как радиусы одной окружности, ОК- общий катет).
Из равенства треугольников следует, что КА=КВ. Ч.т.д.
2) ΔОКА=ΔОКВ по третьему признаку равенства треугольников
(АК=КВ по условию, ОК- общая сторона, ОА=ОВ как радиусы одной окружности).
Из равенства треугольников следует, что ∠ОКА=∠ОКВ, но
∠ОКА и ∠ОКВ- смежные и ∠ОКА+∠ОКВ=180° по свойству смежных углов ⇒ ∠ОКА=∠ОКВ=180°:2=90°. Ч.т.д.
В задании не указано, каким методом решить это задание - а их 2.
1) геометрический,
2) векторный.
1) Находим длины сторон.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √41 ≈ 6,40312.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √18 ≈ 4,24264.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √5 ≈ 2,236068.
Далее применяем теорему косинусов и находим углы треугольника.
cos A= АВ²+АС²-ВС² = 0,977802414
2*АВ*АС
A = 0,211093333 радиан
A = 12,09475708 градусов
cos В= АВ²+ВС²-АС² = 0,993883735
2*АВ*ВС
B = 0,110657221 радиан
B = 6,340191746 градусов
cos C= АC²+ВС²-АВ² = -0,948683298
2*АC*ВС
C = 2,819842099 радиан
C = 161,5650512 градусов.
2) Находим векторы АВ и АС:
АВ = (-4; 5), модуль примем с варианта 1: |AB| = √41.
АС = (-1; 2), |AC| = √5.
cos A = (-4*-1 + 5*2)/(√41*√5) = 14/√205 ≈ 0,977802414.
Вектор ВА = (4; -5), |BA| = √41,
BC = (3; -3), |BC| = 3√2.
cos B = (4*3 + -5*-3)/(√41*3√2) = 27/(3√82) 9/√82 ≈ 0,993883735.
Вектор СА = (1; -2), |CA| = √5,
CB = (-3; 3), |CB| = 3√2.
cos C = (1*-3 + -2*3)/(√5*3√2) = -9/(3√10) = -3/√10 ≈ -0,948683298.
Углы соответствуют найденным в пункте 1.
