Пусть в треугольнике ABC угол A равен a, угол C равен b, проведены биссектрисы AD и CE, которые пересекаются в точке O (см. рисунок). Рассмотрим треугольник AOC. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол AOC равен 180-1/2BAC-1/2BCA=180-DAC-ECA=180-1/2(a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые - это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол EOA будет меньше угла AOC, тогда угол EOA - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол EOA является смежным с углом AOC, тогда он равен 1/2(a+b). Так как a+b<180, 1/2(a+b)<90 и 1/2(a+b)<180-1/2(a+b), то есть, какими бы ни были углы a и b, угол EOA всегда будет меньше угла AOC. Окончательный ответ - 1/2(a+b).
ΔABC; медианы AA_1 и BB_1; пересекаются в точке G. Через A_1 проводим прямую, параллельную BB_1, пересекающую AC в точке D. Угол ACB пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках B_1D:DC=BA_1:A_1C=1:1⇒B_1D=DC⇒AB_1=2B_1D.
Угол CAA_1 пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках AG:GA_1=AB_1:B_1D=2:1.
Таким образом, медиана BB_1 в точке пересечения разделила медиану AA_1 в отношении 2 к 1, считая от вершины. Поскольку мы взяли две произвольные медианы, доказано, что каждая из них разделит каждую в отношении 2 к 1. Поэтому во-первых они пересекаются в одной точке, а во-вторых, делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Замечание для продвинутых (21+))) Знающие теорему Чевы вопрос о том, что медианы пересекаются в одной точке, не задают. А знающие к тому же теорему Менелая, не спрашивают и про отношение 2 к 1. А знающие теорему Ван-Обеля просто умирают при этом со смеху, потому что для них решение прокручивается устно в голове за 0,5 секунды максимум
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
