ABC тікбұрышты үшбұрышында (<C= 90°) BC = 4, <ABC = 45°. Центрі А нүктесінде
болатындай шеңбер жүргізілген
а) шеңбер мен BC түзуі жанасу үшін,
Б) шеңбер мен BC түзуінің ортақ нүктелері болмауы үшін,
с) шеңбер мен BC түзуінің екі ортақ нүктесі болуы үшін
шеңбердің радиусы кандай болуы тиіс?​

--- 1 ---
В ΔАВС
АС = 12 см
2*СВ = АВ катет против угла в 30° равен половине гипотенузы
по теореме Пифагора
АС² + СВ² = АВ²
12² + СВ² = (2*СВ)²
144 + СВ² = 4*СВ²
144 = 3*СВ²
СВ² = 144/3 = 48
СВ = √48 = 4√3 см
∠АВС = 90 - ∠ВАС = 90 - 30 = 60°
--- 2 ---
В ΔОСВ
∠ОСВ = ∠АВС/2 = 60/2 = 30° по определению биссектрисы угла
Снова получили прямоугольный треугольник с углом в 30°
ОС = 1/2*ОВ
По теореме Пифагора
ОС² + ВС²  = ОВ²
(1/2*ОВ) + (4√3)² = ОВ²
ОВ²/4 + 16*3 = ОВ²
48 = 3/4*ОВ²
16 = 1/4*ОВ²
64 = ОВ²
ОВ = √64 = 8 см
И это ответ.

--- 1 ---
MT₁² + T₁P² = 5²
MT₁² + (T₁P+6)² = 9²
---
12*T₁P + 36 = 81 - 25
12*T₁P = 81 - 25 - 36 = 81 - 61 = 20
T₁P = 5/3 см
MT₁² + (5/3)² = 5²
MT₁² + 25/9 = 25
MT₁² + 25/9 = 25
MT₁² = (25*9 - 25)/9 = 200/9
MT₁ = 10√2/3 см
--- 2 ---
TM₁² + M₁P² = 6²
TM₁² + (M₁P+5)² = 9²
---
10*M₁P + 25 = 81 - 36
10*M₁P = 81 - 25 - 36 = 81 - 61 = 20
M₁P = 2 см
TM₁² + 2² = 6²
TM₁² + 4 = 36
TM₁² = 32
TM₁ = 4√2 см
--- 3 ---
ΔMPT₁ ~ ΔММ₁Н - один угол общий, второй прямой
НМ₁/РТ₁ = ММ₁/МТ₁
НМ₁/(5/3) = 7/(10√2/3)
НМ₁/5 = 7/(10√2)
НМ₁ = 5*7/(10√2) = 7/(2√2) см
--- 4 ---
ΔM₁PT ~ ΔТТ₁Н - один угол общий, второй прямой
НТ₁/РМ₁ = ТТ₁/ТМ₁
НТ₁/2 = (6+5/3)/(4√2)
НТ₁ = (18/3 + 5/3)/(2√2)
НТ₁ = 23/3/(2√2) = 23/(6√2) см
--- 5 ---
ΔРНМ₁ 
по теореме Пифагора найдём РН
РН² = НМ₁² + РМ₁² 
РН² = (7/(2√2))² + 2² 
РН² = 49/(4*2) + 4 
РН² = 49/8 + 32/8
РН² = 81/8
РН = 9/(2√2) см
--- 6 ---
Площадь ΔТТ₁М через катеты и через гипотенузу и высоту к ней
S = 1/2*МТ₁*ТТ₁ = 1/2*МТ*Т₁Т₂
1/2*МТ₁*ТТ₁ = 1/2*МТ*Т₁Т₂
МТ₁*ТТ₁ = МТ*Т₁Т₂
МТ₁*ТТ₁ = МТ*Т₁Т₂
10√2/3*(6+5/3) = 9*Т₁Т₂
10√2/3*23/3 = 9*Т₁Т₂
Т₁Т₂ = 230√2/81 см--- 7 ---ΔТТ₁Т₂, по теореме Пифагора
Т₁Т₂² + ТТ₂² = Т₁Т²
(230√2/81)² + ТТ₂² = (23/3)²
ТТ₂² = 279841/81²
ТТ₂ = 529/81 см
--- 8 ---
Площадь ΔТМ₁М через катеты и через гипотенузу и высоту к ней
S = 1/2*ММ₁*ТМ₁ = 1/2*МТ*М₁М₂
1/2*ММ₁*ТМ₁ = 1/2*МТ*М₁М₂
ММ₁*ТМ₁ = МТ*М₁М₂
4√2*(5+2) = 9*М₁М₂
28√2 = 9*М₁М₂
М₁М₂ = 28√2/9 см--- 9 ---
ΔТМ₁М₂, по теореме Пифагора
М₁М₂² + ТМ₂² = М₁Т²
(28√2/9)² + ТМ₂² = (4√2)²
ТМ₂² = 16*2 - 784*2/81 = 1024/81
ТМ₂ = 32/9 см
--- 10 ---
Т₁К = Т₂М₂ = ТТ₂ - ТМ₂ = 529/81 - 32/9 = 241/81
Т₁К = 241/81 см
--- 11 ---
М₁К = М₂М₁ - Т₂Т₁ = 28√2/9 - 230√2/81 = √2/81*(28*9 - 230) = √2/81*(252 - 230) = 22√2/81 см
М₁К = 22√2/81 см
--- 12 --- 
из ΔКТ₁М₁ по теореме Пифагора
Т₁М₁² = Т₁К² + М₁К²
Т₁М₁² = (241/81)² + (22√2/81)²
Т₁М₁² = (241² + 22²*2)/81²
Т₁М₁² = (58081 + 484*2)/81²
Т₁М₁² = 59049/81²
Т₁М₁² = 9
Т₁М₁ = 3 см