Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
Объяснение:
На РУССКОМ: Причиной смены времён года является наклон земной оси по отношению к плоскости эклиптики и вращение Земли вокруг Солнца. ... Зимой дни становятся короче, а положение Солнца в полдень — ниже, чем в Южном полушарии, где в это время лето. Спустя полгода Земля переходит на противоположную точку своей орбиты.
На Казахском:
Жыл мезгілдерінің ауысуының себебі - жер осінің эклиптика жазықтығына қарай қисаюы және жердің Күнді айналуы. ... Қыста күндер қысқарады, ал күннің түске қарай орналасуы жаз болатын Оңтүстік жарты шардағыдан төмен. Алты айдан кейін Жер өз орбитасының қарама-қарсы нүктесіне ауысады
